Lý thuyết Toán 9 Bài 14: Cung và Dây Của Một Đường Tròn (Kết Nối Tri Thức)

1. Dây và Đường Kính Của Đường Tròn

1.1. Khái niệm dây và đường kính

• Dây: Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn.

• Đường kính: Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R.

  • Ví dụ: Trên hình vẽ, CD là một dây, AB là một đường kính của (O).

1.2. Quan hệ giữa dây và đường kính

• Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Ví dụ 1: So sánh độ dài dây và đường kính

• Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh DE < BC.

• Hướng dẫn giải:

• D, E là hai điểm trên đường tròn (O). Đoạn thẳng DE là một dây của đường tròn này.

• Vì DE là dây cung và BC là đường kính của đường tròn (O), theo định lý trên, ta có DE < BC.

2. Góc Ở Tâm, Cung và Số Đo Của Một Cung

2.1. Khái niệm góc ở tâm và cung tròn

• Cung tròn: Hai điểm A và B trên một đường tròn chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). A và B là hai mút của mỗi cung đó.

• Góc ở tâm: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

  • Ví dụ: Trên hình vẽ, ta có hai cung  và  nhưng chỉ có một góc ở tâm là .

• Chú ý:

  • Khi  không bẹt, cung nằm trong góc này gọi là cung nhỏ (). Cung còn lại () gọi là cung lớn.

  • Khi  là góc bẹt, mỗi cung  được gọi là nửa đường tròn.

  • Ta còn nói  chắn cung  hay cung  bị chắn bởi .

Ví dụ 2: Nhận biết cung và góc ở tâm

• a) Tìm các cung có hai đầu mút là D, E.

  • Giải: Các cung đó là cung nhỏ  và cung lớn .

• b)  bị chắn bởi góc ở tâm nào?

  • Giải:  bị chắn bởi góc ở tâm .

• c) Góc ở tâm  chắn cung nào?

  • Giải:  chắn cung .

2.2. Cách xác định số đo của một cung

• Số đo của một cung được xác định như sau:

  • Số đo của nửa đường tròn bằng 180^o .

  • Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

  • Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360^o và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

• Ký hiệu: Số đo của cung AB được ký hiệu là sđ .

• Trên hình vẽ, ta có: sđ =  =   và sđ  

• Nhận xét:

• Nếu A là một điểm thuộc cung  thì: sđ = sđ+ sđ

Ví dụ 3: Tính số đo cung

• Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho .

• a) Tìm sđ, sđ, sđ.

  • Giải: Vì AB là đường kính nên sđ\overparen{AB} = 180^\circ.

    • sđ 

    • sđ = sđ - sđ .

    • sđ = 360o - sđ = 360o - 60o  = 300o.

• b) Vẽ OK là phân giác của  . Chứng minh rằng sđ = sđ = sđ.

  • Giải:

• Ta có  = sđ = 120o. Vì OK là phân giác của , nên 

• Suy ra sđ = sđ = 60o. Mà sđ = 60o, vậy sđ = sđ = sđ = 60o.

• c) Tính sđ.

  • Giải: Ta có sđ = sđ + sđ = 60o + 60o = 120o