Lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng & Đường Tròn (Kết Nối Tri Thức)

1. Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng và Đường Tròn

• Đường thẳng cắt nhau: Đường thẳng  và đường tròn  gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung.

• Đường thẳng tiếp xúc: Đường thẳng  và đường tròn  gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung . Điểm  gọi là tiếp điểm, và  được gọi là tiếp tuyến của .

• Đường thẳng không giao nhau: Đường thẳng  và đường tròn  gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung.

• Nhận xét về khoảng cách: Cho đường thẳng  và đường tròn . Gọi d là khoảng cách từ  đến . Ta có:

  •  cắt  khi và chỉ khi .

  •  tiếp xúc  khi và chỉ khi .

  •  không giao  khi và chỉ khi .

• Lưu ý: Nếu đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  tại H thì .

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối

• Cho đường tròn  và đường thẳng , với  là khoảng cách từ  đến . Xác định vị trí tương đối trong mỗi trường hợp:

  • a) : Vì , đường thẳng  và đường tròn  cắt nhau tại hai điểm.

  • b) : Vì , đường thẳng  và đường tròn  tiếp xúc với nhau.

  • c) : Vì , đường thẳng  và đường tròn  không giao nhau.

2. Dấu Hiệu Nhận Biết Tiếp Tuyến Của Đường Tròn

• Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến): Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Ví dụ 2: Chứng minh tiếp tuyến

• Cho đường tròn  đường kính  AB. Dây AC sao cho  Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O).

• Hướng dẫn giải:

• Tam giác OAC cân tại O  nên .

• Suy ra .

• .

• Tam giác OBC cân tại O  có  nên tam giác OBC đều. Do đó .

• Xét tam giác OMC, có  nên M nằm trên đường tròn tâm B bán kính R. Do đó tam giác OMC có  Vì , ta có  và  (Định lí Pitago), suy ra  do đó  suy ra . Tam giác OMC vuông tại C.

• Vì  tại C thuộc đường tròn (O), nên MC là tiếp tuyến của (O).

3. Hai Tiếp Tuyến Cắt Nhau Của Một Đường Tròn

• Định lí 2 (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau): Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M thì:

  • Điểm M cách đều hai tiếp điểm.

  • MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

  • OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Ví dụ 3: Ứng dụng tính chất hai tiếp tuyến

• Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) (D, E là các tiếp điểm).

  • a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.

    • Hướng dẫn giải:

• Ta có BD, BH là hai tiếp tuyến của (A) cắt nhau tại B, suy ra  và AB là tia phân giác của  hay . Tương tự,  và AC là tia phân giác của  hay .

• Ta có , mà  do đó  nên  .

• Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

  • b) Chứng minh .

    • Hướng dẫn giải: Từ câu a),  là đường kính của đường tròn , nên , hay . Xét tam giác AHB và CHA có  và  (cùng phụ với ). Do đó  (g.g). Suy ra  suy ra . Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có  và . Nên .

    • Kết luận: .