Lý thuyết Toán 9 Bài 13: Mở Đầu Về Đường Tròn (Kết Nối Tri Thức)

1. Đường Tròn, Điểm Thuộc Đường Tròn

• Khái niệm: Đường tròn tâm O bán kính , ký hiệu là , là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

  • Khi không cần để ý đến bán kính, ta ký hiệu là (O).

  • Nếu A là một điểm của đường tròn (O), ta viết . Khi đó, ta nói đường tròn  đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn  (O).

• Nhận xét về vị trí tương đối của một điểm:

  • Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R. (hình a)

  • Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R. (hình b)

  • Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OM > R. (hình c)

• Khái niệm hình tròn: Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O; R).

Ví dụ 1: Nhận biết vị trí điểm

• Trên hình vẽ, điểm A nằm trên, điểm C nằm trong và điểm B nằm ngoài đường tròn (O; R).

• Điểm A và điểm C thuộc hình tròn tâm O bán kính R.

Ví dụ 2: Chứng minh điểm thuộc đường tròn

• Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng đường tròn (I; IP) đi qua Q.

• Hướng dẫn giải: Vì I là trung điểm của đoạn PQ, nên IP = IQ. Theo định nghĩa đường tròn, mọi điểm cách tâm một khoảng bằng bán kính đều thuộc đường tròn. Do đó, .

• Lưu ý: Đoạn PQ trong ví dụ này là một đường kính của đường tròn (I). Do đó, (I) còn được gọi là đường tròn đường kính PQ.

Ví dụ 3: Xác định tâm và bán kính

• Cho tam giác ABC vuông tại A, có , . Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

• Hướng dẫn giải:

• Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: . Suy ra .

• Gọi I là trung điểm của BC. Ta có .

• AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, nên .

• Suy ra .

• Kết luận: Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là trung điểm I của cạnh huyền BC và bán kính .

2. Tính Đối Xứng Của Đường Tròn

2.1. Đối xứng tâm và đối xứng trục

• Đối xứng tâm: Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu I là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

• Đối xứng trục: Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

2.2. Tâm và trục đối xứng của đường tròn

• Đối xứng tâm: Đường tròn là hình có tâm đối xứng, và tâm của đường tròn chính là tâm đối xứng của nó.

• Đối xứng trục: Đường tròn là hình có trục đối xứng, và mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

• Lưu ý: Một đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất nhưng có vô số trục đối xứng.

Ví dụ 4: Xác định tâm và trục đối xứng

• Vẽ đường tròn (O). Tìm tâm đối xứng và vẽ hai trục đối xứng của (O).

• Hướng dẫn giải:

• a) Tâm đối xứng: Tâm O của đường tròn (O) là tâm đối xứng của nó.

• b) Trục đối xứng: Vẽ hai đường thẳng bất kỳ đi qua tâm O của đường tròn. Hai đường thẳng này chính là hai trục đối xứng của (O).