Lý thuyết Toán 9 Bài 17: Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn (Kết Nối Tri Thức)

1. Hai Đường Tròn Cắt Nhau

• Định nghĩa: Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm của chúng.

• Điều kiện: Hai đường tròn  và  cắt nhau khi và chỉ khi  (với ).

Ví dụ 1:

• Cho hai điểm I và I' sao cho . Vì sao hai đường tròn  và  cắt nhau?

• Hướng dẫn giải:

  • Đặt  và .

  • Ta có .

  • .

  • Vì , tức là , nên hai đường tròn đã cho cắt nhau.

2. Hai Đường Tròn Tiếp Xúc Nhau

• Định nghĩa: Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng.

• Lưu ý:

  • Tiếp xúc ngoài: Hai đường tròn  và  tiếp xúc ngoài khi .

  • Tiếp xúc trong: Hai đường tròn  và  tiếp xúc trong khi  (với ).

• Tính chất: Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

Ví dụ 2:

• Cho hai điểm O và O' sao cho . Chứng minh:

  • a) Hai đường tròn  và  tiếp xúc trong với nhau.

    • Hướng dẫn giải: Đặt  và . Ta có . Vì , nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

  • b) Hai đường tròn  tiếp xúc ngoài với nhau.

    • Hướng dẫn giải: Đặt  và . Ta có . Vì , nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

3. Hai Đường Tròn Không Giao Nhau

• Định nghĩa: Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì đó là hai đường tròn không giao nhau.

• Lưu ý:

  • Ngoài nhau: Hai đường tròn  và  ngoài nhau khi .

  • Đựng nhau: Đường tròn  đựng đường tròn  khi  và .

  • Đồng tâm: Khi O trùng với  và  thì ta có hai đường tròn đồng tâm.

Ví dụ 3:

• Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn  và  trong mỗi trường hợp:

  • a) .

    • Hướng dẫn giải: Ta có . Vì , nên đường tròn  đựng đường tròn .

  • b) .

    • Hướng dẫn giải: Ta có . Vì , nên hai đường tròn này ngoài nhau.

  • c) .

    • Hướng dẫn giải: Vì , hai đường tròn này đồng tâm. Do , đường tròn  đựng đường tròn .

Bảng vị trí tương đối của hai đường tròn