Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Phương Trình Quy Về Bậc Nhất Một Ẩn (Kết Nối Tri Thức)

1. Phương Trình Tích

• Khái niệm: Phương trình tích là phương trình có dạng (ax + b)(cx + d) = 0.

• Cách giải: Để giải phương trình tích, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Tập nghiệm của phương trình tích là hợp của các nghiệm của hai phương trình này.

Ví dụ 1: Giải phương trình tích

a) Giải phương trình 2x(5x + 1) = 0

• Hướng dẫn giải: Ta có 2x(5x + 1) = 0 suy ra 2x = 0 hoặc 5x + 1 = 0.

  • 2x = 0 suy ra x = 0.

  • 5x + 1 = 0 suy ra 5x = -1 suy ra .

• Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là x = 0 và .

b) Giải phương trình (2x + 4)(3x + 7) = 0

• Hướng dẫn giải: Ta có (2x + 4)(3x + 7) = 0 \implies 2x + 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0.

  • 2x + 4 = 0 suy ra 2x = -4 suy ra x = -2.

  • 3x + 7 = 0 suy ra 3x = -7 suy ra .

• Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là x = -2 và .

Nhận xét: Các bước giải phương trình tích

• Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích.

• Bước 2: Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ 2: Đưa về phương trình tích

a) Giải phương trình 

• Hướng dẫn giải: Biến đổi phương trình về dạng tích bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:  suy ra  suy ra  Giải hai phương trình: -x + 1 = 0 suy ra x=1 hoặc 5x+1=0 suy ra .

• Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = -\frac{1}{5}.

2. Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu

2.1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

• Khái niệm: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) là điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

Ví dụ 3: Tìm ĐKXĐ

a) Tìm ĐKXĐ của phương trình 

• Hướng dẫn giải: Mẫu thức  suy ra . Vậy ĐKXĐ là .

b) Tìm ĐKXĐ của phương trình 

• Hướng dẫn giải: Mẫu thức  suy ra . Mẫu thức  suy ra . Vậy ĐKXĐ là  và .

2.2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

• Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế, rồi khử mẫu.

• Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

• Bước 4 (Kết luận): So sánh các nghiệm tìm được với ĐKXĐ. Chỉ nghiệm nào thỏa mãn ĐKXĐ mới là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Giải phương trình 

• Hướng dẫn giải:

  • ĐKXĐ:  và .

  • Quy đồng và khử mẫu: 

  • 

  •  (lưu ý: bài gốc có vẻ sai, tôi đã sửa lại theo đúng phương trình)

  • 

  •  hoặc .

• Kết luận: Cả hai nghiệm  và  đều thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có hai nghiệm này.

b) Giải phương trình 

• Hướng dẫn giải:

  • ĐKXĐ:  và .

  • Quy đồng và khử mẫu: 

  • 

  • 

  • 

• Kết luận: Nghiệm  không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.