Cách viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác - Toán 10 chuyên đề

Để viết được phương trình này một cách chính xác, các em cần xác định được hai yếu tố cốt lõi: Tọa độ tâm $I$ và Bán kính $r$.

I. Phương pháp giải toán

Để xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp, chúng ta thường áp dụng một trong hai phương pháp sau:

Cách 1: Sử dụng diện tích và khoảng cách

1. Tính bán kính $r$: Sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích $S$ và nửa chu vi $p$ của tam giác:

   $$r = \frac{S}{p}$$

   .

2. Xác định tâm $I(a; b)$: Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, ta có khoảng cách từ $I$ đến ba cạnh của tam giác bằng nhau và bằng $r$. Từ đó, lập hệ phương trình với hai ẩn $a$ và $b$ dựa trên công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

3. Viết phương trình: Giải hệ phương trình tìm $a, b$ và hoàn thiện phương trình đường tròn.

Cách 2: Sử dụng đường phân giác

1. Tìm tâm $I$: Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc bất kỳ trong tam giác. Giao điểm của hai đường phân giác này chính là tâm $I$.

2. Tính bán kính $r$: Tính khoảng cách từ tâm $I$ vừa tìm được đến một cạnh bất kỳ của tam giác.

3. Viết phương trình: Sử dụng tọa độ tâm $I$ và bán kính $r$ để viết phương trình chính tắc của đường tròn.

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tam giác xác định bởi các tọa độ điểm

Cho hai điểm $A(4; 0)$ và $B(0; 3)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$:

• Tam giác $OAB$ vuông tại $O$, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $AB$.

• Tọa độ tâm $I$: $I = \left( 2; \frac{3}{2} \right)$.

• Bán kính $R = IA = \frac{5}{2}$.

• Phương trình: $(x - 2)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}$.

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$:

• Diện tích $S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

• Nửa chu vi $p = \frac{4 + 3 + 5}{2} = 6$.

• Bán kính nội tiếp $r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$.

• Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và nằm trong góc phần tư thứ nhất, tâm $I(r; r) = (1; 1)$.

• Phương trình: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Ví dụ 2: Tam giác tạo bởi ba đường thẳng

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tạo bởi ba đường thẳng:

• $(d_1): 4x - 3y - 65 = 0$ (cạnh $AB$).

• $(d_2): 7x - 24y + 55 = 0$ (cạnh $BC$).

• $(d_3): 3x + 4y - 5 = 0$ (cạnh $CA$).

Lời giải:

1. Xác định tọa độ các đỉnh: Giải các hệ phương trình tương ứng, ta tìm được $A(11; -7), B(23; 9), C(-1; 2)$.

2. Tính độ dài các cạnh: $AB = 20, BC = 25, CA = 15$.

3. Tính diện tích và bán kính:

   • $S_{ABC} = 150$.

   • Nửa chu vi $p = 30$.

   • Bán kính $r = \frac{S}{p} = \frac{150}{30} = 5$.

4. Xác định tâm $I(a; b)$: Khoảng cách từ $I$ đến ba đường thẳng đều bằng $5$:

   $$\frac{|4a - 3b - 65|}{5} = \frac{|7a - 24b + 55|}{25} = \frac{|3a + 4b - 5|}{5} = 5$$

   .

   Giải hệ trên, ta được tọa độ tâm $I(10; 0)$.

5. Phương trình: $(x - 10)^2 + y^2 = 25$.

Lưu ý: Khi thực hiện phương pháp tính diện tích, các em cần cẩn thận trong bước giải hệ phương trình khoảng cách để xác định đúng vị trí tâm $I$ nằm phía trong tam giác.