Hotline 0962 782 149

Các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn - toán lớp 10

08:38:1623/04/2019

Các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn là một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy 'dễ thở hơn' bởi nội dung cũng khá rõ ràng và dễ hiểu, tuy nhiên nội dung này cũng không thiếu các bài tập khó nhằn đâu nhé.

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn, vận dụng giải qua các ví dụ minh hoạ cụ thể, để từ đó các em dễ dàng vận dụng và phân loại khi gặp các dạng bài tập về đường tròn.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng cực hay

Đây cũng là nội dung nền tảng cho kiến thức về mặt cầu trong không gian ở lớp 12, và trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập đường tròn thì chúng ta phải nắm vững được tính chất của đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Lý thuyết về phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn:

- Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)² + (y - b)² = R²

phương trình đường tròn - Nếu a² + b² - c > 0 thì phương trình x²+ y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính $small R=sqrt{a^{2}+b^{2}-c}$

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

- Cho điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b), tiếp tuyến tại M₀ của (C) có phương trình:

(x₀- a)(x - x₀) + (y₀ - b)(y - y₀) = 0 tiếp tuyến của đường tròn II. Các dạng bài tập phương trình đường tròn.

• Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình đường tròn

* Phương pháp:

+) Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng: (x - a)² + (y - b)² = P (*)

- Nếu P > 0 thì (*) là PT đường tròn tâm I(a;b) và bán kính small R=sqrt{P}

- Nếu P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT đường tròn.

+) Cách 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x²+ y² - 2ax - 2by + c = 0 (**)

° Đặt P = a² + b² - c

- Nếu P > 0 thì (**) là PT đường tròn tâm I(a;b) và bán kính $small dpi{100} fn_cm small R=sqrt{a^{2} + b^{2} - c }$

- Nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT đường tròn.

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính nếu có.

a) x² + y²+ 2x - 4y + 9 = 0

b) x² + y² - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x² + 2y² - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x² + 4y²+ x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x² + y²+ 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta có a = -1; b = 2; c = 9 nên a² + b² - c = (-1)² + (2)² - 9 = -4 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.

b) x² + y² - 6x + 4y + 13 = 0,

- Tương tự có: a² + b² - c = (3)² + (-2)² - 13 = 0 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.

c) 2x² + 2y² - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x² + y² - 4x - 2y - 3 = 0

- Tương tự có: a² + b² - c = (2)² + (1)² + 3 = 8 > 0, đây là phương trình đường tròn tâm I(2;1) bán kính R=2√2.

d) 5x² + 4y²+ x - 4y + 1 = 0, phương trình này không phải pt đường tròn vì hệ số của x² và y² khác nhau.

Ví dụ 2: Cho đường cong (C_m): x² + y² - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m để (C_m) là phương trình đường tròn.

b) Khi (C_m) là pt đường tròn tìm toạ độ tâm và bán kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (C_m) là phương trình đường tròn thì: m² +[2(m-2)]² - (6 -m) > 0

⇔ m² + 4m² - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m² - 15m + 10 > 0

⇔ m² - 3m + 2 > 0

⇔ m < 1 ∪ m > 2

b) Với điều kiện trên thì (C_m) có tâm I[m;(2m - 4)] và bán kính $small R=sqrt{m^{2}-3m+2}$

Ví dụ 3: Cho (C_α): x² + y² - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (C_α) là đường tròn

b) Xác định α để (C_α) có bán kính lớn nhất

c) Tìm quỹ tính tâm I của (C_α)

* Lời giải:

a) Để (C_α) là đường tròn thì : cos²α + sin²α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos²α + sin²α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin²α > 0 (với α ≠ kπ)

- Lưu ý: Nếu α = kπ đường tròn là 1 điểm.

b) Để (C_α) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R² = 2sin²α ≤ 2 (do 0 ≤ sin²α ≤ 1)

⇒ R_max = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn C_αcó toạ độ tâm I(cosα; sinα) tức là: small left{egin{matrix} x=cosalpha y=sinalpha end{matrix}
ight. khử α ta có: x² + y² = 1 chính là quỹ tích tâm I của C_α.

• Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1:

- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x - a)² + (y - b)² = R²

° Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0.

- Từ điều kiện bài toán cho thiết lập hệ pt 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).

* Lưu ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA² = IB² = R² và thường được vận dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta có R = OI, mà $small left | overrightarrow{OI} ight |=sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=sqrt{10}$

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính small R=sqrt{10} có pt:

(x - 1)² + (y + 3)² = 10

b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

$small x_{I}=frac{x_{A}+x_{B}}{2}=frac{1+5}{2}=3;$ $small y_{I}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}=frac{1+3}{2}=2$

- Bán kính $small R=frac{AB}{2}=frac{left | overrightarrow{AB} ight |}{2}=frac{sqrt{4^{2}+2^{2}}}{2}=sqrt{5}$

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính $small dpi{100} fn_cm small R=sqrt{5}$ có pt:

(x - 3)² + (y - 2)² = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0.

- Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

$small left{egin{matrix} (-1)^{2}+(3)^{2}-2a(-1)-2b(3)+c=0 (3)^{2}+(5)^{2}-2a(3)-2b(5)+c=0 (4)^{2}+(-2)^{2}-2a(4)-2b(-2)+c=0 end{matrix} ight.$ small Leftrightarrow left{egin{matrix} 1+9+2a-6b+c=0 9+25-6a-10b+c=0 16+4-8a+4b+c=0 end{matrix}
ight.

- Giải hệ trên ta được $small a=frac{7}{3};b=frac{4}{3};c=-frac{20}{3}$

⇒ Đường tròn (C) là: $small x^{2} + y^{2} - frac{14}{3}x - frac{8}{3}y -frac{20}{3} = 0.$

• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp: Dựa vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì: d[I,Δ] = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d[I,Δ] = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ₁) và (Δ₂) thì: d[I,Δ₁] = d[I,Δ₂] = R

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

- Ox có phương trình: y = 0

- Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox ta có:

$small R=d[I,Ox] =frac{left | 5 ight |}{sqrt{1}}=5$

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x - 2)² + (y - 5)² = 25

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có: small R=d[I,(Delta )] $small = frac{left |-1+4-8 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{5}{sqrt{5}}=sqrt{5}$

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)² + (y - 2)² = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư này, nên toạ độ tâm I=(R;-R).

- Ta có: $small R=left | overrightarrow{IA} ight |Leftrightarrow R^{2}=(2-R)^{2}+(R-1)^{2}$

⇔ R² = R² - 4R + 4 + R² - 2R + 1

⇔ R² - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

(C₁): (x - 1)² + (y + 1)² = 1

(C₂): (x - 5)² + (y + 5)² = 25

Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d₁): x + 2y - 3 = 0 và (d₂): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=√10 có tâm thuộc d₁ và tiếp xúc với d₂.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d₁ nên I(-2a+3;a) do (C) tiếp xúc với d₂ nên ta có:

$small d[I,d_{2}]=RLeftrightarrow frac{left | a-2 ight |}{sqrt{10}}=sqrt{10}$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} a=-8 a=12 end{matrix}

⇒ I₁(19;-8) và I₂(-21;12)

⇒ Có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện là:

(C₁): (x - 19)² + (y + 8)² = 10

(C₂): (x + 21)² + (y - 12)² = 10

Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d₁): x + 2y - 8 = 0 và (d₂): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d₁) và d₂.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) do (C) tiếp xúc với (d₁) và (d₂) nên ta có:

$small d[I,d_{1}]=d[I,d_{2}]$

$small Leftrightarrow frac{left | 2a-1+2a-8 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}}} =frac{left | 4a-2+a+5 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}}}$

$small Leftrightarrow frac{left |4a-9 ight |}{sqrt{5}}=frac{left |5a+3 ight |}{sqrt{5}}$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} a=-12 a=2/3 end{matrix}

⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện.

- Với a = -12 thì I(-25;-12), $small R=sqrt{frac{57}{5}}$ Phương trình đường tròn (C₁):

$small (x + 25)^{2} + (y + 12)^{2} = frac{57}{5}$

- Với $small a=frac{2}{3}$ thì $small I(frac{1}{3};frac{2}{3})$ , $small dpi{100} fn_cm small R=frac{19}{3sqrt{5}}$ Phương trình đường tròn (C₂):

$small left ( x-frac{1}{3} ight )^{2}+(y-frac{2}{3})^{2}=frac{361}{45}$

• Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° Cách 1:

- Tính diện tích S và nửa chu vi P của tam giác để tính được bán kính đường tròn $small r=frac{S}{P}$

- Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác bằng nhau và bằng r, từ đó lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b và phương trình đường tròn.

° Cách 2:

- Viết phương trình đường phân giác trong của 2 góc trong tam giác.

- Tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được bán kính.

Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ Bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: $small (x-2)^{2}+(y-frac{3}{2})^{2}=frac{25}{4}$

b) Ta sẽ tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta có $small S_{Delta OAB}=frac{1}{2}OA.OB=frac{1}{2}.4.3=6$

- Nửa chu vi: $small P=frac{OA+OB+AB}{2}=frac{4+ 3+5}{2}=6$

⇒ $small r=frac{S}{P}=frac{6}{6}=1$

- Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ nên tâm I_r=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)² + (y - 1)² = 1

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi 3 đường thẳng:

(d₁): 4x - 3y - 65 = 0

(d₂): 7x - 24y + 55 = 0

(d₃): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

AB: 4x - 3y - 65 = 0

BC: 7x - 24y + 55 = 0

CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta có VTPT: $small overrightarrow{n}_{AB}=(4;-3)$ , $small overrightarrow{n}_{CA}=(3;4)$

- Dễ thấy tam giác vuông tại A do $small overrightarrow{n}_{AB}.overrightarrow{n}_{CA}=4.3+(-3).4=0$

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

- Diện tích tam giác ABC: S_ABC = 150

- Nửa chu vi là: $small P=frac{20+25+15}{2}=30$

- Bán kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

- Gọi bán kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng đã cho đều là r=5 nên ta có.

$small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small frac{left | 4a-3b-65 ight |}{sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}} =frac{left | 7a-24b+55 ight |}{sqrt{7^{2}+(-24)^{2}}} =frac{left | 3a+4b-5 ight |}{sqrt{4^{2}+3^{2}}}=5$

- Giải hệ trên ta được: a = 10 và b = 0;

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: (x - 10)² + y² = 25

Hy vọng với bài viết tổng hợp một số dạng toán về phương trình đường tròn và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vnghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn - toán lớp 10

Tags:

Đánh giá & nhận xét