Các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn (đầy đủ, dễ hiểu nhất) - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết và các dạng toán phổ biến, giúp các em tự tin chinh phục mọi bài kiểm tra. Đây cũng là nền tảng cốt lõi để các em học tốt kiến thức về Mặt cầu trong không gian ở lớp 12.

I. Lý thuyết trọng tâm về phương trình đường tròn

Để giải quyết tốt các bài tập, trước hết chúng ta cần nắm chắc hai dạng phương trình cơ bản:

1. Phương trình đường tròn

• Dạng chính tắc: Đường tròn có tâm $I(a; b)$, bán kính $R$ có phương trình:

  $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

Dạng tổng quát: Phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2 + b^2 - c > 0$.

• Tâm đường tròn: $I(a; b)$.

• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm $M_0(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_0$ có phương trình:

II. Các dạng bài tập phương trình đường tròn

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm điều kiện tham số

* Phương pháp giải:

Để kiểm tra một phương trình có phải là đường tròn hay không, ta sử dụng một trong hai cách sau:

• Cách 1: Đưa phương trình về dạng chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = P$ (*)

  • Nếu $P > 0$: (*) là phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{P}$.

  • Nếu $P \le 0$: (*) không phải là phương trình đường tròn.

• Cách 2: Đưa về dạng tổng quát: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ ()

  • Xác định $a, b, c$. Tính giá trị $P = a^2 + b^2 - c$.

  • Nếu $P > 0$: () là phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

  • Nếu $P \le 0$: () không phải là phương trình đường tròn.

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

• a) $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 9 = 0$:

  Ta có $a = -1; b = 2; c = 9 \Rightarrow a^2 + b^2 - c = (-1)^2 + 2^2 - 9 = -4 < 0$. Đây không phải là phương trình đường tròn.

• b) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0$:

  Ta có $a = 3; b = -2; c = 13 \Rightarrow a^2 + b^2 - c = 3^2 + (-2)^2 - 13 = 0$. Đây không phải là phương trình đường tròn.

• c) $2x^2 + 2y^2 - 8x - 4y - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y - 3 = 0$:

  Ta có $a = 2; b = 1; c = -3 \Rightarrow a^2 + b^2 - c = 2^2 + 1^2 - (-3) = 8 > 0$. Đây là phương trình đường tròn tâm $I(2; 1)$, bán kính $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

• d) $5x^2 + 4y^2 + x - 4y + 1 = 0$:

  Đây không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau ($5 \neq 4$).

Ví dụ 2: Cho đường cong $(C_m): x^2 + y^2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0$

• a) Tìm điều kiện của $m$ để $(C_m)$ là phương trình đường tròn:

  Để $(C_m)$ là đường tròn thì $a^2 + b^2 - c > 0$:

  $\Leftrightarrow m^2 + [2(m - 2)]^2 - (6 - m) > 0$

  $\Leftrightarrow m^2 + 4(m^2 - 4m + 4) - 6 + m > 0$

  $\Leftrightarrow 5m^2 - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow m^2 - 3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 1 \cup m > 2$.

• b) Tìm tọa độ tâm và bán kính theo $m$:

  Với điều kiện trên, $(C_m)$ có tâm $I(m; 2m - 4)$ và bán kính $R = \sqrt{5m^2 - 15m + 10}$.

Ví dụ 3: Cho $(C_\alpha): x^2 + y^2 - 2x\cos\alpha - 2y\sin\alpha + \cos 2\alpha = 0$ (với $\alpha \neq k\pi$)

• a) CMR $(C_\alpha)$ là đường tròn:

  Ta có $a = \cos\alpha, b = \sin\alpha, c = \cos 2\alpha$.

  Xét $a^2 + b^2 - c = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - \cos 2\alpha = 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$.

  Vì $\alpha \neq k\pi \Rightarrow \sin\alpha \neq 0 \Rightarrow 2\sin^2\alpha > 0$. Vậy $(C_\alpha)$ luôn là đường tròn.

• b) Xác định $\alpha$ để $(C_\alpha)$ có bán kính lớn nhất:

  $R^2 = 2\sin^2\alpha \le 2$ (do $\sin^2\alpha \le 1$). $R_{max} = \sqrt{2}$ khi $\sin^2\alpha = 1 \Leftrightarrow \cos\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

• c) Tìm quỹ tích tâm $I$ của $(C_\alpha)$:

  Tâm $I(x; y)$ có $\begin{cases} x = \cos\alpha \\ y = \sin\alpha \end{cases} \Rightarrow x^2 + y^2 = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

  Vậy quỹ tích tâm $I$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp giải:

• Cách 1: Xác định tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$, sau đó viết phương trình dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

• Cách 2: Giả sử phương trình có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Thay tọa độ các điểm vào để thiết lập hệ phương trình 3 ẩn $a, b, c$.

• Lưu ý: Đường tròn đi qua $A, B$ thì $IA = IB = R$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh.

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp:

• a) Có tâm $I(1; -3)$ và đi qua $O(0; 0)$:

  Bán kính $R = OI = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.

  Phương trình $(C): (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10$.

• b) Có đường kính $AB$ với $A(1; 1), B(5; 3)$:

  Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $x_I = \frac{1+5}{2} = 3; y_I = \frac{1+3}{2} = 2 \Rightarrow I(3; 2)$.

  Bán kính $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$.

  Phương trình $(C): (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

• c) Đi qua 3 điểm $A(-1; 3), B(3; 5), C(4; -2)$:

  Gọi $(C): x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Thay tọa độ $A, B, C$ vào ta có hệ:

  $\begin{cases} 2a - 6b + c = -10 \\ -6a - 10b + c = -34 \\ -8a + 4b + c = -20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 7/3 \\ b = 4/3 \\ c = -20/3 \end{cases}$.

  Phương trình $(C): x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x - \frac{8}{3}y - \frac{20}{3} = 0$.

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất: Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ khi và chỉ khi $d(I, \Delta) = R$.

• Tiếp xúc tại $A$: $d(I, \Delta) = IA = R$.

• Tiếp xúc với hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$: $d(I, \Delta_1) = d(I, \Delta_2) = R$.

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(2; 5)$ và tiếp xúc với trục $Ox$:

• Giải: * Trục $Ox$ có phương trình tổng quát là $y = 0$.

  • Bán kính $R$ của đường tròn là khoảng cách từ tâm $I$ đến trục $Ox$:

    $$R = d(I, Ox) = \frac{|5|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 5$$

  • Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$.

b) $(C)$ có tâm $I(-1; 2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $(\Delta): x + 2y - 8 = 0$:

• Giải:

  • Tính bán kính $R$ bằng khoảng cách từ $I$ đến $(\Delta)$:

    $$R = d(I, \Delta) = \frac{|(-1) + 2(2) - 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$

  • Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

c) $(C)$ đi qua $A(2; -1)$ và tiếp xúc với hai trục tọa độ $Ox, Oy$:

• Giải:

  • Vì đường tròn tiếp xúc với $Ox, Oy$ nên tâm $I(a; b)$ thỏa mãn $|a| = |b| = R$.

  • Vì $A(2; -1)$ nằm ở góc phần tư thứ IV nên tâm $I$ cũng phải nằm ở góc phần tư thứ IV. Do đó, tọa độ tâm có dạng $I(R; -R)$.

  • Ta có $R = IA \Leftrightarrow R^2 = IA^2$:

    $$R^2 = (2 - R)^2 + (-1 - (-R))^2$$
    $$\Leftrightarrow R^2 = 4 - 4R + R^2 + 1 - 2R + R^2$$
    $$\Leftrightarrow R^2 - 6R + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} R = 1 \\ R = 5 \end{matrix} \right.$$

  • Kết luận: Có 2 đường tròn thỏa mãn:

    $(C_1): (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$

    $(C_2): (x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$.

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có bán kính $R = \sqrt{10}$, tâm thuộc $d_1: x + 2y - 3 = 0$ và tiếp xúc với $d_2: x + 3y - 5 = 0$.

• Giải:

  • Vì tâm $I \in d_1$ nên ta gọi tọa độ tâm $I$ theo tham số: $I(3 - 2a; a)$.

  • Đường tròn tiếp xúc với $d_2$ nên $d(I, d_2) = R$:

    $$\frac{|(3 - 2a) + 3a - 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow \frac{|a - 2|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$$
    $$\Leftrightarrow |a - 2| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a - 2 = 10 \\ a - 2 = -10 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a = 12 \\ a = -8 \end{matrix} \right.$$

  • Với $a = 12$, tâm $I_1(-21; 12) \Rightarrow (C_1): (x + 21)^2 + (y - 12)^2 = 10$.

  • Với $a = -8$, tâm $I_2(19; -8) \Rightarrow (C_2): (x - 19)^2 + (y + 8)^2 = 10$.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên $(d): x - 2y + 1 = 0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng $(d_1): x + 2y - 8 = 0$ và $(d_2): 2x + y + 5 = 0$.

• Giải:

  • Tâm $I \in d \Rightarrow I(2a - 1; a)$.

  • Vì đường tròn tiếp xúc với cả $d_1$ và $d_2$ nên $d(I, d_1) = d(I, d_2) = R$:

    $$\frac{|(2a - 1) + 2a - 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2(2a - 1) + a + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$$
    $$\Leftrightarrow |4a - 9| = |5a + 3| \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 4a - 9 = 5a + 3 \\ 4a - 9 = -(5a + 3) \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a = -12 \\ a = \frac{2}{3} \end{matrix} \right.$$

  • Trường hợp 1: $a = -12 \Rightarrow I(-25; -12)$. Bán kính $R = \frac{|4(-12) - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{57}{\sqrt{5}}$.

    Phương trình $(C_1): (x + 25)^2 + (y + 12)^2 = \frac{3249}{5} = 649.8$.

  • Trường hợp 2: $a = \frac{2}{3} \Rightarrow I(\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$. Bán kính $R = \frac{|4(\frac{2}{3}) - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{19}{3\sqrt{5}}$.

    Phương trình $(C_2): (x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{2}{3})^2 = \frac{361}{45}$.

Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp giải:

• Cách 1: Tính $S$ và nửa chu vi $p \Rightarrow r = S/p$. Tâm $I(a; b)$ thỏa mãn $d(I, \text{cạnh}) = r$.

• Cách 2: Tìm giao điểm 2 đường phân giác trong để xác định tâm $I$.

Ví dụ 1: Cho $A(4; 0), B(0; 3)$.

• a) PT đường tròn ngoại tiếp $\triangle OAB$: Tâm $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(2; 1.5), R = 2.5 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 1.5)^2 = 6.25$.

• b) PT đường tròn nội tiếp $\triangle OAB$: $S = 6, p = 6 \Rightarrow r = 1$. Vì tiếp xúc 2 trục tọa độ trong góc phần tư thứ I nên $I(1; 1)$. Phương trình: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Ví dụ 2: Viết PT đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ tạo bởi $d_1: 4x - 3y - 65 = 0, d_2: 7x - 24y + 55 = 0, d_3: 3x + 4y - 5 = 0$.

• Tọa độ đỉnh: $A(11; -7), B(23; 9), C(-1; 2)$.

• Tính độ dài cạnh: $AB = 20, BC = 25, CA = 15 \Rightarrow S = 150, p = 30 \Rightarrow r = 5$.

• Giải hệ khoảng cách từ $I(a; b)$ đến 3 cạnh bằng 5, tìm được $I(10; 0)$.

• Phương trình: $(x - 10)^2 + y^2 = 25$.