Hotline 0936685849

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d2 lớp 10

15:14:4315/02/2025

Chào các em! Trong chương trình Hình học lớp 10, một trong những bài toán thường gặp là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Bài viết này sẽ hướng dẫn các em công thức và các bước thực hiện chi tiết để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ một cách chính xác.

1. Công thức và cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song, chúng ta có thể áp dụng phương pháp sau:

Bước 1: Đưa phương trình của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ về dạng tổng quát: $ax+by+c_1=0$ và $ax+by+c_2=0.$
Bước 2: Lấy một điểm $A(x_0;y_0)$ bất kì thuộc một trong hai đường thẳng (ví dụ $d_{1}$ ).
Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng còn lại ( $d_{2}$ ) bằng công thức:
$d(A,d_2)=\frac{|ax_0+by_0+c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Bước 4: Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ chính là khoảng cách vừa tính được:

$d(d_1,d_2)=d(A,d_2).$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:4x-3y+2=0$ và $d_2:4x-3y+12=0.$

Lời giải:
- Hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ đã có dạng tổng quát và có cùng vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(4;-3)$ .
  
  Do đó, $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.
- Để kiểm tra, ta lấy một điểm bất kì thuộc $d_{2}$ .
  
  Ví dụ, cho $x = 0$ , ta có $- 3 y + 12 = 0 \Leftrightarrow y = 4$ .
  
  Vậy, điểm $A(0;4)\in d_2.$
- Thay tọa độ của điểm A vào phương trình $d_{1}$ : $4 (0) - 3 (4) + 2 = - 10\neq 0$ .
  
  Do đó, $A\notin d_1.$
- Vậy, $d_{1}$ và $d_{2}$ là hai đường thẳng song song.
- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $d_{1}$ :
  
  $d(d_1,d_2)=d(A,d_1)=\frac{|4(0)-3(4)+2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|-10|}{\sqrt{16+9}}=\frac{10}{5}=2$
- Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 2.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:6x-8y-10=0$ và $d_2:3x-4y=0.$

Lời giải:
- Đầu tiên, ta đơn giản hóa phương trình $d_{1}$ bằng cách chia cả hai vế cho 2: $d_1:3x-4y-5=0.$
- Ta thấy hai đường thẳng $d_1:3x-4y-5=0$ và $d_2:3x-4y=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-4)$ nhưng khác hệ số tự do. Vậy chúng song song với nhau.
- Lấy một điểm A bất kì thuộc $d_{2}$ . Ví dụ, cho $x = 0$ , ta có $y = 0$ . Vậy, điểm $A(0;0)\in d_2.$
- Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $d_{1}$ :
  
  $d(d_1,d_2)=d(A,d_1)=\frac{|3.0-4.0-5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|-5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}=1$
- Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 1.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1} : 7 x + y -3 = 0$ và $d_{2} : 7 x + y - 10 = 0$ .
Bài tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng $d_{1} : 5 x + 3 y - 3 = 0$ và $d_{2} : 5 x + 3 y + 7 = 0$ . Tìm phương trình đường thẳng $d$ song song và cách đều $d_{1}, d_{2}$ .
Bài tập 3: Cho hai đường thẳng $d : x + y - 4 = 0$ và $Δ : x + y + 1 = 0$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.
Bài tập 4: Cho đường thẳng $d : x - 2 y + 2 = 0$ . Hãy viết phương trình các đường thẳng song song với $d$ và cách $d$ một đoạn bằng $\sqrt{5}$ .
Bài tập 5: Cho đường thẳng $d : 3 x + 4 y + 1 = 0$ . Hãy viết phương trình hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ cùng song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng 1.

Qua bài viết này, hy vọng các em đã nắm vững cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Kỹ năng này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong chương trình học mà còn là nền tảng để tiếp thu các kiến thức khó hơn về khoảng cách trong không gian sau này.