Cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bài tập - Toán 10 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải và cung cấp hệ thống bài tập minh họa giúp các em làm chủ kiến thức này.

I. Lý thuyết về Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Một số tính chất quan trọng

Với điều kiện $a > 0$, ta có các tính chất cơ bản sau:

• $|x| \geq 0, |x| \geq x, |x| \geq -x$

• $|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$

• $|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq -a$ hoặc $x \geq a$

• $|a| - |b| \leq |a + b| \leq |a| + |b|$ (Bất đẳng thức tam giác)

2. Định nghĩa trị tuyệt đối

Để phá dấu giá trị tuyệt đối, ta dựa vào định nghĩa:

• $|f(x)| = f(x)$ khi $f(x) \geq 0$

• $|f(x)| = -f(x)$ khi $f(x) < 0$

3. Các dạng bất phương trình thường gặp

Dạng 1: $|f(x)| > g(x)$ hoặc $|f(x)| < g(x)$

• $|f(x)| > g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f(x) > g(x) \\ f(x) < -g(x) \end{matrix} \right.$

• $|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) > 0 \\ -g(x) < f(x) < g(x) \end{cases}$

Dạng 2: $|f(x)| > |g(x)|$ hoặc $|f(x)| < |g(x)|$

• $|f(x)| > |g(x)| \Leftrightarrow f^2(x) > g^2(x) \Leftrightarrow (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) > 0$

4. Quy trình giải chung

• Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức (nếu có).

• Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối bằng cách dùng định nghĩa, bảng xét dấu hoặc bình phương hai vế.

• Bước 3: Giải bất phương trình trên từng khoảng đã chia hoặc theo hệ điều kiện tương đương.

• Bước 4: Tổng hợp nghiệm và đối chiếu điều kiện để kết luận.

II. Bài tập giải bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

Bài tập 1: Giải bất phương trình cơ bản và phân thức

a) $|5x - 4| \geq 6$

Lời giải:

Tập nghiệm: $S = (-\infty; -2/5] \cup [2; +\infty)$.

b) $\left| \frac{-5}{x+2} \right| < \left| \frac{10}{x-1} \right|$

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $x \neq 1; x \neq -2$.

• Bình phương hai vế ta được:

  $$\left( \frac{-5}{x+2} \right)^2 < \left( \frac{10}{x-1} \right)^2 \Leftrightarrow \frac{25}{(x+2)^2} < \frac{100}{(x-1)^2}$$
  $$\Leftrightarrow 25(x - 1)^2 < 100(x + 2)^2 \Leftrightarrow (x - 1)^2 < 4(x + 2)^2$$
  $$\Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 < 4(x^2 + 4x + 4) \Leftrightarrow 3x^2 + 18x + 15 > 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 > 0$$

• Xét dấu: Biểu thức có nghiệm $x = -1; x = -5$.

• Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $(x + 1)(x + 5) > 0$ khi $x < -5$ hoặc $x > -1$.

• Kết hợp điều kiện: $S = (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty) \setminus \{1\}$.

Bài tập 2: Giải bất phương trình có chứa biến ở vế phải

a) $|2x - 9| \leq x + 2$

Lời giải:

Tập nghiệm: $S = [7/3; 11]$.

b) $|2x - 3| \geq x + 2$

Lời giải:

Tập nghiệm: $S = (-\infty; 1/3] \cup [5; +\infty)$.