Bài 4.19 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong Chuyên đề Vectơ

Dưới đây là lời giải chi tiết, phân tích bản chất vectơ giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu và đạt điểm tối đa.

I. Đề bài tập 4.19 (SGK Toán 10 - Trang 65)

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí $A(1; 2)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành $1,5$ giờ.

II. Phương pháp giải toán chuyển động bằng vectơ

Bản chất toán học: Khi một vật thể chuyển động thẳng đều từ điểm xuất phát $A$ với vectơ vận tốc $\vec{v}$ không đổi, thì sau khoảng thời gian $t$ (giờ), vectơ dịch chuyển của vật thể (quãng đường đi được xét theo hướng) được xác định bằng công thức tích của vectơ với một số:

$$\overrightarrow{AA'} = t \cdot \vec{v}$$

Trong đó, $A'$ chính là vị trí mới của vật thể tại thời điểm $t$. Từ đẳng thức vectơ này, ta thiết lập hệ phương trình tọa độ để tìm ra tọa độ của điểm $A'$.

III. Lời giải chi tiết bài 4.19

Gọi $A'(x'; y')$ là vị trí của tàu thủy trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ tại thời điểm sau khi khởi hành $1,5$ giờ.

• Bước 1: Tính tọa độ của vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{AA'}$

  Theo công thức tọa độ phẳng, vectơ nối từ điểm đầu $A(1; 2)$ đến vị trí mới $A'(x'; y')$ là:

  $$\overrightarrow{AA'} = (x' - 1; y' - 2)$$

• Bước 2: Biểu diễn vectơ dịch chuyển theo vận tốc và thời gian

  Theo giả thiết vật thể chuyển động thẳng đều trong thời gian $t = 1,5$ giờ với vận tốc $\vec{v} = (3; 4)$, ta có hệ thức:

  $$\overrightarrow{AA'} = 1,5 \cdot \vec{v}$$

  Ta nhân hằng số $1,5$ vào từng tọa độ của vectơ vận tốc $\vec{v}$:

  $$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = (1,5 \cdot 3; 1,5 \cdot 4) = (4,5; 6)$$

• Bước 3: Thiết lập hệ phương trình tìm tọa độ điểm $A'$

  Cho các tọa độ tương ứng của vectơ $\overrightarrow{AA'}$ ở hai bước trên bằng nhau, ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

  $$\begin{cases} x' - 1 = 4,5 \\ y' - 2 = 6 \end{cases}$$

  Tiến hành chuyển vế đổi dấu để tìm $x'$ và $y'$:

  $$\Leftrightarrow \begin{cases} x' = 4,5 + 1 \\ y' = 6 + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x' = 5,5 \\ y' = 8 \end{cases}$$

Kết luận cuối cùng: Sau khi khởi hành $1,5$ giờ, tàu thủy sẽ di chuyển đến vị trí điểm $A'(5,5; 8)$ trên mặt phẳng tọa độ.

IV. Mẹo thiết lập nhanh phương trình chuyển động (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn tăng tốc độ làm bài và tối ưu thời gian khi gặp các câu hỏi trắc nghiệm tương tự, các em có thể ghi nhớ hệ phương trình tọa độ tổng quát của chuyển động thẳng đều sau:

Một vật xuất phát từ điểm $A(x_A; y_A)$, chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\vec{v} = (x_v; y_v)$ thì tọa độ vị trí $A'(x'; y')$ tại thời điểm $t$ luôn luôn tuân theo hệ thức:

$$\begin{cases} x' = x_A + t \cdot x_v \\ y' = y_A + t \cdot y_v \end{cases}$$

Áp dụng nhẩm nhanh vào bài toán:

• Hoành độ: $x' = 1 + 1,5 \cdot 3 = 1 + 4,5 = 5,5$

• Tung độ: $y' = 2 + 1,5 \cdot 4 = 2 + 6 = 8$

• Chúng ta viết ngay được đáp án $A'(5,5; 8)$ chỉ trong vòng chưa đầy 5 giây mà không cần trình bày các bước gọi tên vectơ dài dòng!

V. Kết luận

Bài tập 4.19 là một minh chứng rõ ràng cho thấy toán học vectơ không hề trừu tượng mà là một công cụ đắc lực để mô hình hóa và giải quyết các bài toán động học thực tế trong đời sống hàng ngày.

thuộc chương trình Toán lớp 10, các câu hỏi ứng dụng thực tế luôn là tâm điểm trong các đề kiểm tra nhằm đánh giá năng lực vận dụng toán học của học sinh. Bài tập 4.19 trang 65 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán động học phẳng lý thú, yêu cầu xác định tọa độ vị trí của một con tàu thủy sau một thời gian di chuyển thẳng đều.