Bài 9.32 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Xác định đồ thị hàm vị trí, vận tốc và gia tốc

Bài 9.32 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

Phương pháp giải

Để xác định đúng vai trò của từng đồ thị, chúng ta cần dựa vào ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm:

1. Mối quan hệ đạo hàm: $v(t) = s'(t)$ và $a(t) = v'(t) = s''(t)$.

2. Mối quan hệ đồ thị: * Nếu hàm số đang đồng biến (đi lên), thì đạo hàm của nó phải có giá trị dương (nằm trên trục hoành).

   • Nếu hàm số đang nghịch biến (đi xuống), thì đạo hàm của nó phải có giá trị âm (nằm dưới trục hoành).

   • Tại các điểm cực trị (đỉnh hoặc đáy) của hàm số, đạo hàm của nó phải bằng 0 (cắt trục hoành).

Giải bài 9.32 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Dựa vào Hình 9.10, ta thực hiện phân tích mối quan hệ giữa các đường $a, b, c$ như sau:

Phân tích cặp đồ thị $(c)$ và $(b)$:

• Quan sát đường $c$: Ta thấy hàm số $c$ luôn đồng biến (đồ thị đi lên) trên toàn bộ khoảng thời gian xét.

• Quan sát đường $b$: Giá trị của hàm số $b$ luôn nằm phía trên trục hoành (giá trị dương) trong khoảng mà hàm $c$ đi lên.

• Kết luận: Hàm số $b$ là đạo hàm của hàm số $c$ ($b = c'$).

Phân tích cặp đồ thị $(b)$ và $(a)$:

• Quan sát đường $b$: Hàm số $b$ đồng biến trên khoảng đầu (đồ thị đi lên) và nghịch biến ở khoảng sau (đồ thị đi xuống). Điểm cao nhất của $b$ tương ứng với vị trí mà đường $a$ cắt trục hoành.

• Quan sát đường $a$: Trong khoảng hàm $b$ đồng biến, giá trị của $a$ là dương. Trong khoảng hàm $b$ nghịch biến, giá trị của $a$ là âm.

• Kết luận: Hàm số $a$ là đạo hàm của hàm số $b$ ($a = b'$).

Xác định vai trò từng hàm số:

Vì $a$ là đạo hàm của $b$, và $b$ là đạo hàm của $c$, theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta có:

• Đường $c$ là đồ thị của hàm vị trí $s(t)$.

• Đường $b$ là đồ thị của hàm vận tốc $v(t)$.

• Đường $a$ là đồ thị của hàm gia tốc $a(t)$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Hàm vị trí $s(t)$: Đạo hàm bậc nhất là vận tốc, đạo hàm bậc hai là gia tốc.

• Cách nhìn đồ thị: Điểm cực trị của hàm $f(x)$ luôn tương ứng với điểm giao của $f'(x)$ với trục hoành.

• Sự biến thiên: Chiều đi của đồ thị hàm gốc quyết định dấu (nằm trên hay dưới trục hoành) của đồ thị đạo hàm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn thứ tự: Nhiều bạn nhầm rằng đường cao nhất hoặc biến thiên mạnh nhất là hàm vị trí. Thực tế, hàm gia tốc (đạo hàm cấp 2) thường có xu hướng dao động mạnh hơn và đổi dấu nhiều hơn.

• Quên xét điểm cực trị: Không quan sát các điểm tại đó đạo hàm bằng 0, dẫn đến kết luận sai về mối quan hệ giữa hai đường.

Mẹo giải nhanh

Hãy tìm đường nào có điểm cực trị (đỉnh/đáy). Chiếu thẳng điểm cực trị đó xuống trục hoành, nếu có một đường khác cắt trục hoành tại đúng vị trí đó, thì đường cắt trục hoành chính là đạo hàm của đường có cực trị.

• Đỉnh của $b$ chiếu xuống đúng điểm cắt của $a$ $\Rightarrow a = b'$.

• Đỉnh của $c$ (nếu có) sẽ chiếu xuống điểm cắt của $b$. Trong bài này $c$ luôn tăng, nên $b$ luôn dương.