Bài 9.30 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình tiếp tuyến

Bài 9.30 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 3x² – 1 tại điểm có hoành độ bằng 1.

Phương pháp giải

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0; y_0)$, chúng ta thực hiện theo 3 bước:

1. Tính tung độ tiếp điểm $y_0$: Thay $x_0 = 1$ vào hàm số ban đầu $y = f(x)$.

2. Tính hệ số góc $k$: Tính đạo hàm $f'(x)$, sau đó tìm giá trị hệ số góc $k = f'(x_0)$.

3. Viết phương trình tiếp tuyến: Áp dụng công thức:

   $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$

Giải bài 9.30 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 + 3x^2 - 1$. Hoành độ tiếp điểm là $x_0 = 1$.

Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm

Thay $x_0 = 1$ vào phương trình hàm số để tìm $y_0$:

Vậy tiếp điểm có tọa độ là $M(1; 3)$.

Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến

Ta có đạo hàm của hàm số:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_0 = 1$ là:

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1; 3)$ có dạng:

Rút gọn phương trình:

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 9x - 6$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

• Công thức tiếp tuyến: $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.

• Ý nghĩa hình học: Đạo hàm tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai đạo hàm: Phổ biến nhất là quên hạ bậc hoặc tính sai hệ số (ví dụ: $3x^2 + 3x$ thay vì $3x^2 + 6x$).

• Nhầm lẫn công thức tiếp tuyến: Sử dụng dấu cộng trong ngoặc $(x + x_0)$ hoặc nhầm dấu giữa $y_0$ và $f'(x_0)$.

• Quên tính tung độ $y_0$: Một số bạn chỉ tính hệ số góc rồi lúng túng không biết thay vào đâu.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài trắc nghiệm, bạn có thể sử dụng máy tính Casio để tìm nhanh hệ số góc và tung độ:

1. Tìm $y_0$: Nhập hàm số $x^3 + 3x^2 - 1$, bấm phím CALC và nhập $1 \Rightarrow$ Kết quả là $3$.

2. Tìm $k$: Sử dụng tính năng đạo hàm tại một điểm bằng phím $\frac{d}{dx}(\dots)|_{x=\dots}$. Nhập hàm số và giá trị $x=1 \Rightarrow$ Kết quả là $9$.

3. Phương trình sẽ là $y = 9(x - 1) + 3 = 9x - 6$.