Bài 9.3 trang 86 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình tiếp tuyến

Bài 9.3 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Phân tích lý thuyết

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0; y_0)$ có dạng tổng quát:

Trong đó:

• $x_0$: Hoành độ tiếp điểm.

• $y_0 = f(x_0)$: Tung độ tiếp điểm.

• $f'(x_0)$: Hệ số góc của tiếp tuyến (đạo hàm của hàm số tại $x_0$).

Giải bài 9.3 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đặt $y = f(x) = -x^2 + 4x$.

Trước hết, ta tìm đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ bất kỳ bằng định nghĩa:

Vậy hàm số có đạo hàm là $y' = -2x + 4$.

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$

• Bước 1: Tìm tung độ tiếp điểm $y_0$:

  Thay $x_0 = 1$ vào hàm số ban đầu: $y_0 = f(1) = -(1)^2 + 4(1) = 3$.

• Bước 2: Tìm hệ số góc $f'(x_0)$:

  Thay $x_0 = 1$ vào biểu thức đạo hàm: $f'(1) = -2(1) + 4 = 2$.

• Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến:

  $y - 3 = 2(x - 1) \Leftrightarrow y = 2x - 2 + 3 \Leftrightarrow y = 2x + 1$.

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến tại $x_0 = 1$ là $y = 2x + 1$.

b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$

• Bước 1: Tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$:

  Với $y_0 = 0$, ta có phương trình: $-x_0^2 + 4x_0 = 0 \Leftrightarrow x_0(4 - x_0) = 0$.

  Suy ra có hai tiếp điểm: $x_0 = 0$ hoặc $x_0 = 4$.

• Bước 2: Viết phương trình cho từng trường hợp:

  • Trường hợp 1: $x_0 = 0, y_0 = 0$

    Hệ số góc: $f'(0) = -2(0) + 4 = 4$.

    Phương trình: $y - 0 = 4(x - 0) \Leftrightarrow y = 4x$.

  • Trường hợp 2: $x_0 = 4, y_0 = 0$

    Hệ số góc: $f'(4) = -2(4) + 4 = -4$.

    Phương trình: $y - 0 = -4(x - 4) \Leftrightarrow y = -4x + 16$.

Kết luận: Tại $y_0 = 0$ có hai phương trình tiếp tuyến là $y = 4x$ và $y = -4x + 16$.

Tổng kết kiến thức

• Hệ số góc: Luôn là giá trị của đạo hàm tại hoành độ tiếp điểm.

• Dữ liệu bài toán: Đề bài có thể cho $x_0$, cho $y_0$, hoặc cho hệ số góc $k$. Dù cho dữ kiện nào, mục tiêu cuối cùng vẫn là tìm đủ bộ ba $(x_0; y_0; f'(x_0))$.

• Số lượng tiếp tuyến: Một tung độ có thể tương ứng với nhiều hoành độ trên Parabol, dẫn đến có nhiều tiếp tuyến khác nhau (như ở câu b).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Nhầm lẫn hoành độ và tung độ: Đọc không kỹ đề bài, lấy $y_0 = 0$ thay vào $x$ của đạo hàm là lỗi rất phổ biến.

2. Sai dấu khi tính đạo hàm: Khi tính đạo hàm bằng định nghĩa, việc phá ngoặc có dấu trừ đằng trước thường gây nhầm lẫn dấu các hạng tử.

3. Quên rút gọn phương trình: Nhiều bạn để nguyên dạng $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ mà không chuyển về dạng $y = ax + b$ dễ dẫn đến mất điểm trình bày.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra lại đạo hàm $y' = -2x + 4$ mà không cần định nghĩa, các em có thể dùng quy tắc tính nhanh: $(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$.

• Với $y = -1x^2 + 4x \Rightarrow y' = 2(-1)x + 4 = -2x + 4$. (Khớp kết quả).