Bài 8.25 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất các chuyến bay khởi hành đúng giờ

Bài 8.25 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hai chuyến bay của hai hãng hàng không X và Y, hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng X và hãng Y khởi hành đúng giờ tương ứng là 0,92 và 0,98.

Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Cả hai chuyến bay khởi hành đúng giờ;

b) Chỉ có một chuyến bay khởi hành đúng giờ;

c) Có ít nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ.

Phân tích bài toán

Vì hai hãng hàng không hoạt động độc lập, kết quả chuyến bay của hãng X không ảnh hưởng đến hãng Y. Để giải bài toán này bằng sơ đồ hình cây, chúng ta sẽ chia làm hai giai đoạn tương ứng với hai hãng.

Giải bài 8.25 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố:

• A: “Chuyến bay của hãng X khởi hành đúng giờ”. $\Rightarrow P(A) = 0,92$; $P(\overline{A}) = 1 - 0,92 = 0,08$.

• B: “Chuyến bay của hãng Y khởi hành đúng giờ”. $\Rightarrow P(B) = 0,98$; $P(\overline{B}) = 1 - 0,98 = 0,02$.

Bước 1: Vẽ sơ đồ hình cây

Sơ đồ hình cây mô tả các kịch bản có thể xảy ra:

• Nhánh 1 (Hãng X): Đúng giờ (0,92) hoặc Trễ giờ (0,08).

• Nhánh 2 (Hãng Y): Từ mỗi kết quả của hãng X, hãng Y cũng có hai khả năng: Đúng giờ (0,98) hoặc Trễ giờ (0,02).

Bước 2: Tính toán xác suất các trường hợp

Dựa vào sơ đồ hình cây, ta tính xác suất cho các tổ hợp:

1. $P(AB) = 0,92 \cdot 0,98 = 0,9016$ (Cả hai cùng đúng giờ).

2. $P(A\overline{B}) = 0,92 \cdot 0,02 = 0,0184$ (X đúng, Y trễ).

3. $P(\overline{A}B) = 0,08 \cdot 0,98 = 0,0784$ (X trễ, Y đúng).

4. $P(\overline{A}\overline{B}) = 0,08 \cdot 0,02 = 0,0016$ (Cả hai cùng trễ).

Đáp án các câu hỏi:

a) Cả hai chuyến bay khởi hành đúng giờ

Xác suất là:

b) Chỉ có một chuyến bay khởi hành đúng giờ

Trường hợp này bao gồm (X đúng, Y trễ) hoặc (X trễ, Y đúng):

c) Có ít nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ

Sử dụng biến cố đối: "Cả hai chuyến bay đều trễ giờ".

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Quy tắc nhân xác suất: Đối với hai biến cố độc lập, xác suất của biến cố giao bằng tích các xác suất thành phần: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

• Sơ đồ hình cây: Giúp liệt kê đầy đủ và trực quan tất cả các kịch bản của phép thử.

• Biến cố đối: Rất hữu ích khi tính xác suất có cụm từ "ít nhất một".

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn xác suất trễ giờ: Nhiều bạn quên tính $1 - 0,92$ hay $1 - 0,98$ dẫn đến các nhánh của sơ đồ cây bị sai.

• Cộng thiếu trường hợp ở câu b: Chỉ tính $P(A\overline{B})$ mà quên mất trường hợp $P(\overline{A}B)$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán độc lập, bạn có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách cộng tất cả các xác suất ở cuối các nhánh sơ đồ cây. Tổng của chúng bắt buộc phải bằng 1.

$0,9016 + 0,0184 + 0,0784 + 0,0016 = 1,0$ (Chính xác!)