Bài 9.22 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tìm tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0

Bài 9.22 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = x²e^–2x. Tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là

A. {0; 1}.

B. {–1; 0}.

C. {0}.

D. {1}.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(uv)' = u'v + uv'$ kết hợp với đạo hàm hàm số mũ hợp $(e^u)' = u' \cdot e^u$.

2. Lập phương trình $f'(x) = 0$: Đưa biểu thức đạo hàm về dạng phương trình tích.

3. Giải phương trình: Tìm các giá trị của $x$ và kết luận tập nghiệm.

Giải bài 9.22 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: A

Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích với $u = x^2$ và $v = e^{-2x}$:

Tính các thành phần:

• $(x^2)' = 2x$

• $(e^{-2x})' = (-2x)' \cdot e^{-2x} = -2e^{-2x}$

Thay vào biểu thức ta được:

Bước 2: Giải phương trình $f'(x) = 0$

Ta có:

Đặt nhân tử chung là $2xe^{-2x}$:

Bước 3: Tìm nghiệm

Vì hàm số mũ $e^{-2x}$ luôn dương với mọi $x$ ($e^{-2x} > 0$), nên phương trình tương đương với:

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S = \{0; 1\}$. Vậy đáp án chính xác là A.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm tích: $(uv)' = u'v + uv'$.

• Đạo hàm hàm mũ hợp: $(e^{ax+b})' = a \cdot e^{ax+b}$.

• Tính chất hàm mũ: Luôn nhớ $e^u$ luôn khác 0 (cụ thể là luôn dương), điều này giúp đơn giản hóa phương trình tích rất nhiều.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên dấu trừ khi đạo hàm $e^{-2x}$: Nhiều bạn tính $(e^{-2x})' = 2e^{-2x}$, dẫn đến phương trình $2xe^{-2x} + 2x^2e^{-2x} = 0$ và chọn đáp án B ($\{-1; 0\}$).

• Quên quy tắc tích: Chỉ tính đạo hàm từng cái rồi nhân lại $(x^2)' \cdot (e^{-2x})'$, đây là lỗi sai kiến thức cơ bản.

• Sơ suất khi đặt nhân tử chung: Dẫn đến việc bỏ sót nghiệm hoặc tính sai nghiệm $x = 1$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các hàm số có dạng $f(x) = x^n \cdot e^{ax}$:

1. Đạo hàm luôn có dạng $f'(x) = x^{n-1} \cdot e^{ax} \cdot (ax + n)$.

2. Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ luôn bao gồm $x = 0$ và $x = -\frac{n}{a}$.

   Áp dụng vào bài: $n = 2, a = -2$.

• Nghiệm 1: $x = 0$.

• Nghiệm 2: $x = -\frac{2}{-2} = 1$.

  Nhẩm nhanh kết quả $\{0; 1\}$ chỉ trong vài giây!