Bài 8.22 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.22 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hai vận động viên bắn súng A và B mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia một cách độc lập. Xét các biến cố sau:

M: “Vận động viên A bắn trúng vòng 10”;

N: “Vận động viên B bắn trúng vòng 10”.

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo biến cố M và N:

C: “Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”;

D: “Cả hai vận động viên bắn trúng vòng 10”;

E: “Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng 10”;

F: “Vận động viên A bắn trúng và vận động viên B không bắn trúng vòng 10”;

G: “Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”.

Phân tích bài toán

Để biểu diễn chính xác, chúng ta cần nhớ các quy tắc cơ bản:

• Phép hợp ($\cup$): Tương ứng với từ "hoặc", "ít nhất một".

• Phép giao ($\cap$ hay viết liền): Tương ứng với từ "và", "đồng thời".

• Biến cố đối ($\overline{M}$): Tương ứng với từ "không", "trượt".

Giải bài 8.22 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Dựa vào các quy tắc toán học về biến cố, ta có các biểu diễn sau:

• Biến cố C: “Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”

  Nghĩa là vận động viên A trúng hoặc vận động viên B trúng (hoặc cả hai cùng trúng).

  $$\Rightarrow C = M \cup N$$

• Biến cố D: “Cả hai vận động viên bắn trúng vòng 10”

  Nghĩa là A trúng và B cũng trúng.

  $$\Rightarrow D = M \cap N \text{ (hoặc viết gọn là } MN)$$

• Biến cố E: “Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng 10”

  Nghĩa là A không trúng (trượt) và B cũng không trúng.

  $$\Rightarrow E = \overline{M} \cap \overline{N} \text{ (hoặc } \overline{M}\overline{N})$$

• Biến cố F: “Vận động viên A bắn trúng và vận động viên B không bắn trúng vòng 10”

  Nghĩa là A trúng và B trượt.

  $$\Rightarrow F = M \cap \overline{N} \text{ (hoặc } M\overline{N})$$

• Biến cố G: “Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”

  Trường hợp này bao gồm hai kịch bản xung khắc: (A trúng, B trượt) hoặc (A trượt, B trúng).

  $$\Rightarrow G = (M \cap \overline{N}) \cup (\overline{M} \cap N) \text{ (hoặc } M\overline{N} \cup \overline{M}N)$$

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Biến cố hợp: Xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố thành phần xảy ra.

• Biến cố giao: Xảy ra khi tất cả các biến cố thành phần cùng xảy ra đồng thời.

• Biến cố xung khắc: Các biến cố không thể xảy ra cùng lúc (như các phần trong biến cố G).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa "ít nhất một" và "duy nhất một": "Ít nhất một" ($C$) bao gồm cả trường hợp cả hai cùng trúng, còn "duy nhất một" ($G$) thì loại trừ trường hợp đó.

• Quên ký hiệu biến cố đối: Khi đề bài nói "không bắn trúng", bắt buộc phải sử dụng dấu gạch ngang trên đầu biến cố tương ứng.

Mẹo giải nhanh

Để không bao giờ nhầm lẫn, hãy dịch câu văn sang ngôn ngữ logic trước khi viết ký hiệu:

1. "Và" $\to$ Dấu giao ($\cap$).

2. "Hoặc" $\to$ Dấu hợp ($\cup$).

3. "Không" $\to$ Dấu gạch đầu ($\overline{\quad}$).

4. "Chỉ có" $\to$ Thường là tổng hợp của các cặp (Người này trúng $\cap$ Người kia trượt).