Bài 9.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính gia tốc khi vận tốc bằng 0

Bài 9.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chuyển động của một vật có phương trình $s(t)=sin\left(0,8\pi t+\frac{\pi}{3}\right)$, ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. 4,5 cm/s².

B. 5,5 cm/s².

C. 6,3 cm/s².

D. 7,1 cm/s².

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần vận dụng mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và gia tốc thông qua đạo hàm:

1. Vận tốc $v(t)$: Là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v(t) = s'(t)$.

2. Gia tốc $a(t)$: Là đạo hàm cấp hai của quãng đường: $a(t) = s''(t)$.

3. Giải điều kiện $v(t) = 0$: Tìm các thời điểm $t$ mà tại đó vận tốc triệt tiêu.

4. Tính $|a(t)|$: Thay các thời điểm tìm được vào biểu thức gia tốc và lấy giá trị tuyệt đối.

Giải bài 9.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: C

Bước 1: Tìm phương trình vận tốc và gia tốc

• Vận tốc của vật:

  $$v(t) = s'(t) = \left[ \sin\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \right]' = 0,8\pi \cos\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right)$$

• Gia tốc của vật:

  $$a(t) = v'(t) = \left[ 0,8\pi \cos\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \right]' = - (0,8\pi)^2 \sin\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right)$$
  $$a(t) = -0,64\pi^2 \sin\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right)$$

Bước 2: Xét thời điểm vận tốc bằng 0 ($v(t) = 0$)

Ta có:

Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối của gia tốc tại các thời điểm đó

Thay cụm góc $\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ vào biểu thức gia tốc:

Vì $\sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ luôn bằng $1$ hoặc $-1$ tùy vào giá trị của $k$, nên giá trị tuyệt đối của nó luôn bằng $1$:

Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng

Sử dụng máy tính bỏ túi:

Giá trị này gần với 6,3 cm/s² nhất.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm lượng giác: $(\sin u)' = u' \cos u$ và $(\cos u)' = -u' \sin u$.

• Mối liên hệ đặc biệt: Trong dao động điều hòa, khi vận tốc bằng 0 (vật ở vị trí biên), thì gia tốc sẽ đạt giá trị cực đại (về độ lớn).

• Giá trị lượng giác: $\cos \alpha = 0 \Rightarrow |\sin \alpha| = 1$. Đây là mẹo giúp bạn giải cực nhanh mà không cần tìm chính xác thời gian $t$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính toán rườm rà: Nhiều bạn cố gắng giải tìm $t$ cụ thể, việc này làm bài toán trở nên phức tạp và dễ sai sót trong các bước chuyển vế.

• Quên hệ số $\omega$: Khi lấy đạo hàm cấp hai, quên nhân thêm $0,8\pi$ lần thứ hai dẫn đến kết quả sai (thường là đáp án tỉ lệ thuận với $0,8\pi$).

• Lỗi đơn vị: Chú ý đơn vị của gia tốc là cm/s².

Mẹo giải nhanh

Trong dao động điều hòa dạng $s(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$:

1. Vận tốc $v(t) = 0$ khi vật ở vị trí biên.

2. Tại vị trí biên, độ lớn gia tốc luôn đạt cực đại: $|a|_{max} = A\omega^2$.

   Áp dụng: $A = 1, \omega = 0,8\pi$.

   $$|a| = 1 \cdot (0,8\pi)^2 = 0,64\pi^2 \approx 6,3$$

   Chỉ cần áp dụng công thức này, bạn có thể chọn ngay đáp án C trong vòng chưa đầy 10 giây!