Bài 9.17 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính gia tốc của hạt chuyển động

Bài 9.17 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s(t)=10+0,5sin(2\pi t+\frac{\pi}{5})$, trong đó s tính bằng centimet và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ mối liên hệ giữa các đại lượng trong vật lý thông qua đạo hàm:

• Vận tốc tức thời $v(t)$: Là đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động: $v(t) = s'(t)$.

• Gia tốc tức thời $a(t)$: Là đạo hàm bậc nhất của vận tốc, hoặc đạo hàm bậc hai của phương trình chuyển động: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.

Giải bài 9.17 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tìm phương trình vận tốc $v(t)$

Vận tốc của hạt tại thời điểm $t$ là:

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$:

Bước 2: Tìm phương trình gia tốc $a(t)$

Gia tốc của hạt tại thời điểm $t$ là đạo hàm của vận tốc $v(t)$:

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$:

Bước 3: Tính gia tốc tại thời điểm $t = 5$ giây

Thay $t = 5$ vào biểu thức gia tốc vừa tìm được:

Vì hàm số $\sin$ có chu kỳ $2\pi$, nên $\sin(10\pi + \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{5})$:

Sử dụng máy tính bỏ túi (để chế độ Radian):

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được: $a(5) \approx -11,6$ (cm/s$^2$).

Kết luận: Gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây xấp xỉ $-11,6$ cm/s$^2$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức cốt lõi: $v(t) = s'(t)$ và $a(t) = s''(t)$.

• Đạo hàm lượng giác: $(\sin u)'' = - (u')^2 \sin u$ (nếu $u$ là hàm bậc nhất).

• Đơn vị gia tốc: Luôn là (đơn vị độ dài) / (đơn vị thời gian)$^2$, trong bài này là cm/s$^2$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên nhân hệ số $u'$: Khi lấy đạo hàm lần lượt từ $s(t)$ sang $v(t)$ rồi sang $a(t)$, mỗi lần đều phải nhân thêm hệ số $2\pi$. Nhiều bạn chỉ nhân một lần hoặc quên hẳn.

• Sai chế độ máy tính: Khi tính $\sin(\pi/5)$, nếu máy tính để chế độ Độ (Degree) thay vì Radian sẽ ra kết quả sai hoàn toàn.

• Làm tròn sớm: Chỉ nên làm tròn ở bước cuối cùng để đảm bảo độ chính xác.

Mẹo giải nhanh

Đối với các vật dao động điều hòa có phương trình $s(t) = C + A \sin(\omega t + \varphi)$:

Gia tốc luôn tuân theo công thức: $a(t) = -\omega^2 \cdot (s(t) - C)$.

Áp dụng: $\omega = 2\pi, A = 0,5$.

$a(5) = -(2\pi)^2 \cdot [0,5 \sin(10\pi + \pi/5)] = -4\pi^2 \cdot 0,5 \sin(\pi/5) = -2\pi^2 \sin(\pi/5)$.

Cách này giúp bạn kiểm tra lại kết quả cực nhanh mà không cần thực hiện đạo hàm hai bước!