Bài 9.12 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.12 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?

Phân tích bài toán

• Mối liên hệ vận tốc - quãng đường: Vận tốc tức thời $v(t)$ là đạo hàm bậc nhất của hàm số vị trí $s(t)$ theo thời gian: $v(t) = s'(t)$.

• Đạo hàm hàm hợp: Áp dụng công thức $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$.

• Giá trị cực đại: Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác $\cos(4\pi t)$ để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc.

Giải bài 9.12 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây

Ta có phương trình vị trí: $s(t) = 12 + 0,5 \sin(4\pi t)$.

Vận tốc của hạt tại thời điểm $t$ là:

Bước 2: Tìm vận tốc cực đại của hạt

Với mọi thời điểm $t$, giá trị của hàm số cosin luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$:

Nhân cả ba vế với $2\pi$ (vì $2\pi > 0$ nên chiều bất đẳng thức không đổi):

Hay:

Giá trị lớn nhất của vận tốc đạt được khi $\cos(4\pi t) = 1$.

Khi đó: $v_{max} = 2\pi \approx 6,28 \text{ (cm/s)}$.

Kết luận:

• Vận tốc của hạt sau $t$ giây là $v(t) = 2\pi \cos(4\pi t)$ (cm/s).

• Vận tốc cực đại của hạt là $2\pi$ cm/s.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm: $(\sin ax)' = a \cos ax$.

• Ứng dụng vật lý: Đạo hàm của ly độ (vị trí) theo thời gian là vận tốc trong dao động điều hòa.

• Đánh giá hàm lượng giác: Giá trị cực đại của $A \cos(u)$ luôn là $|A|$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên nhân đạo hàm của $u$ ($u'$): Lỗi phổ biến nhất là viết $v(t) = 0,5 \cos(4\pi t)$, thiếu mất hệ số $4\pi$ từ đạo hàm của biểu thức bên trong sin.

• Nhầm lẫn đơn vị: Đề bài cho $s$ tính bằng cm, nên vận tốc phải là cm/s, không phải m/s.

• Sai sót khi đạo hàm hằng số: Đạo hàm của số $12$ là $0$, đừng giữ nguyên nó trong biểu thức vận tốc.

Mẹo giải nhanh

Đối với các vật dao động điều hòa có dạng $s(t) = C + A \sin(\omega t + \varphi)$:

1. Phương trình vận tốc luôn là $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi)$.

2. Vận tốc cực đại (tốc độ cực đại) luôn là $v_{max} = |A\omega|$.

   Áp dụng: $v_{max} = |0,5 \cdot 4\pi| = 2\pi$. Bạn có thể ra ngay đáp án trắc nghiệm mà không cần tính toán dài dòng!