Bài 8.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một đoàn khách du lịch gồm 31 người, trong đó có 7 người đến từ Hà Nội, 5 người đến từ Hải Phòng. Chọn ngẫu nhiên một người trong đoàn. Tính xác suất để người đó đến từ Hà Nội hoặc đến từ Hải Phòng.

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa hai biến cố:

• Biến cố A: "Người được chọn đến từ Hà Nội".

• Biến cố B: "Người được chọn đến từ Hải Phòng".

Vì một người không thể vừa đến từ Hà Nội vừa đến từ Hải Phòng trong cùng một lựa chọn (theo dữ liệu bài toán), nên $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc. Do đó, chúng ta có thể áp dụng quy tắc cộng xác suất trực tiếp.

Giải bài 8.23 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cách 1: Tính theo định nghĩa cổ điển của xác suất

Số cách chọn ngẫu nhiên một người trong đoàn du lịch là: $n(\Omega) = 31$.

Gọi $E$ là biến cố: “Người được chọn đến từ Hà Nội hoặc đến từ Hải Phòng”.

Số người thỏa mãn điều kiện đến từ Hà Nội hoặc Hải Phòng là:

Xác suất để chọn được người đó là:

Cách 2: Tính theo quy tắc cộng xác suất

Gọi $A$ là biến cố: “Người được chọn đến từ Hà Nội”.

Gọi $B$ là biến cố: “Người được chọn đến từ Hải Phòng”.

Xác suất của từng biến cố là:

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc, xác suất để người đó đến từ Hà Nội hoặc Hải Phòng là:

Kết luận: Vậy xác suất cần tìm là $12/31$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Biến cố xung khắc: Hai biến cố không thể cùng xảy ra trong một phép thử.

• Quy tắc cộng xác suất: Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

• Công thức tổng quát: Nếu $A$ và $B$ bất kỳ thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa xung khắc và độc lập: Học sinh thường nhầm quy tắc cộng (dành cho biến cố xung khắc) với quy tắc nhân (dành cho biến cố độc lập). Hãy nhớ: "Hoặc" dùng phép cộng, "Và" dùng phép nhân.

• Quên xác định tính xung khắc: Trong một số bài toán phức tạp hơn, nếu hai biến cố có phần chung (giao nhau), việc chỉ cộng trực tiếp sẽ dẫn đến kết quả sai (bị thừa phần giao).

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm đơn giản về "chọn 1 đối tượng" thỏa mãn điều kiện $A$ hoặc $B$:

Xác suất = (Tổng số đối tượng thỏa mãn A và B) / (Tổng số đối tượng ban đầu)

Áp dụng: $(7 + 5) / 31 = 12/31$. Chỉ mất chưa đầy 5 giây để bạn tìm ra đáp án!