Bài 9.28 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm cấp hai f''(0)

Bài 9.28 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ . Tính f''(0).

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ hoặc công thức tính nhanh cho hàm bậc nhất trên bậc nhất.

2. Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$: Tiếp tục lấy đạo hàm của biểu thức $f'(x)$. Có thể sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $\left(\frac{1}{u^n}\right)'$.

3. Thay giá trị $x = 0$: Thay vào biểu thức $f''(x)$ để tìm kết quả cuối cùng.

Giải bài 9.28 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Điều kiện xác định: $x \neq 1$.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$

Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$

Ta viết lại $f'(x) = -2 \cdot (x - 1)^{-2}$. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

Bước 3: Tính giá trị $f''(0)$

Thay $x = 0$ vào biểu thức đạo hàm cấp hai vừa tìm được:

Kết luận: Vậy giá trị của đạo hàm cấp hai tại $x = 0$ là $f''(0) = -4$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp hai là kết quả của việc lấy đạo hàm của đạo hàm cấp một.

• Công thức thương: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Đạo hàm hàm hợp cơ bản: $\left[\frac{k}{(x+a)^n}\right]' = \frac{-k \cdot n}{(x+a)^{n+1}}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm dấu khi tính $f'(x)$: Lỗi phổ biến là tính tử số ra $2$ thay vì $-2$. Hãy cẩn thận với dấu trừ của công thức thương.

• Sai lũy thừa mẫu số: Khi tính đạo hàm cấp hai từ $f'(x)$, nhiều bạn để mẫu số là $(x-1)^4$ (nhầm với công thức thương) thay vì $(x-1)^3$.

• Tính toán với số âm: Nhầm lẫn $(-1)^3 = 1$ dẫn đến kết quả $f''(0) = 4$. Nhớ rằng lũy thừa bậc lẻ của số âm luôn ra số âm.

Mẹo giải nhanh

1. Tính nhanh $f'(x)$: Với hàm $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, ta có $y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.

   Áp dụng: $y' = \frac{1(-1)-1(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

2. Tính nhanh $f''(x)$: Áp dụng công thức $\left(\frac{k}{u^2}\right)' = \frac{-2k \cdot u'}{u^3}$.

   Áp dụng: $f''(x) = \frac{-2(-2) \cdot 1}{(x-1)^3} = \frac{4}{(x-1)^3}$.

   Sử dụng các công thức tính nhanh này sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán trắc nghiệm chỉ trong vòng 30 giây!