Bài 9.29 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm cấp hai f''(1)

Bài 9.29 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và f'(x) = x²f(x) với mọi x. Tính f''(1).

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta không cần tìm công thức cụ thể của hàm số $f(x)$ mà chỉ cần sử dụng các quy tắc đạo hàm:

1. Tính đạo hàm $f'(1)$: Sử dụng biểu thức $f'(x) = x^2 f(x)$ và thay $x = 1$ vào.

2. Thiết lập biểu thức đạo hàm cấp hai $f''(x)$: Lấy đạo hàm hai vế của biểu thức $f'(x)$ bằng quy tắc đạo hàm của một tích $(uv)' = u'v + uv'$.

3. Tính $f''(1)$: Thay giá trị $x = 1$ và các kết quả đã tìm được ở bước 1 vào biểu thức đạo hàm cấp hai.

Giải bài 9.29 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính giá trị đạo hàm cấp một tại $x = 1$

Dựa vào giả thiết $f'(x) = x^2 f(x)$, ta thay $x = 1$ vào biểu thức này:

Vì đề bài cho $f(1) = 2$, nên:

Bước 2: Tìm biểu thức đạo hàm cấp hai $f''(x)$

Ta lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình $f'(x) = x^2 f(x)$:

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ với $u = x^2$ và $v = f(x)$:

Bước 3: Tính giá trị $f''(1)$

Thay $x = 1$, $f(1) = 2$ và $f'(1) = 2$ (đã tính ở bước 1) vào biểu thức $f''(x)$:

Kết luận: Vậy giá trị của đạo hàm cấp hai tại $x = 1$ là $f''(1) = 6$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm cấp cao: $f''(x)$ chính là đạo hàm của hàm số $f'(x)$.

• Quy tắc đạo hàm của tích: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Đây là mấu chốt để khai triển biểu thức $f''(x)$.

• Tính toán bắc cầu: Trong các bài toán cho biểu thức đạo hàm, ta thường phải tính giá trị $f'(x_0)$ trước khi tính được $f''(x_0)$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên tính $f'(1)$: Nhiều bạn chỉ khai triển biểu thức $f''(x)$ rồi lúng túng khi thấy xuất hiện ký hiệu $f'(1)$ mà không biết lấy giá trị ở đâu.

• Sai quy tắc đạo hàm: Lỗi phổ biến là coi $f'(x) = (x^2 \cdot f(x))' = (x^2)' \cdot f'(x) = 2x \cdot f'(x)$. Hãy nhớ quy tắc tích luôn có hai số hạng cộng lại.

• Thay số nhầm: Nhầm lẫn giữa giá trị $x = 1$ và giá trị hàm số $f(1) = 2$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán dạng $f'(x) = A(x) \cdot f(x)$, ta luôn có công thức tính đạo hàm cấp hai nhanh tại điểm $x_0$:

Áp dụng vào bài: $A(x) = x^2 \Rightarrow A'(x) = 2x$. Tại $x=1$: $A(1)=1, A'(1)=2$.

Cách này giúp các bạn kiểm tra lại kết quả trong các kỳ thi trắc nghiệm cực kỳ hiệu quả!