Bài 9.19 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính giá trị đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 9.19 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = x² + sin³x. Khi đó f'(π/2) bằng

A. π.

B. 2π.

C. π + 3.

D. π – 3.

Phương pháp giải

Để tìm đáp án chính xác cho bài toán trắc nghiệm này, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tổng và quy tắc đạo hàm hàm hợp cho biểu thức lũy thừa lượng giác $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

2. Thay giá trị $x = \frac{\pi}{2}$: Thay số vào biểu thức đạo hàm vừa tìm được và tính toán dựa trên các giá trị lượng giác đặc biệt.

Giải bài 9.19 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: A

Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$

Ta có:

• Đạo hàm của $x^2$ là $2x$.

• Đạo hàm của $\sin^3 x$: Đây là hàm hợp dạng $u^n$ với $u = \sin x$ và $n = 3$.

  $$(\sin^3 x)' = 3 \cdot \sin^2 x \cdot (\sin x)' = 3 \sin^2 x \cos x$$

  Vậy:

  $$f'(x) = 2x + 3 \sin^2 x \cos x$$

Bước 2: Tính giá trị $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào biểu thức đạo hàm:

Biết rằng các giá trị lượng giác tại $\frac{\pi}{2}$ là:

• $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

• $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

Thay vào ta được:

Kết luận: Đáp án đúng là A. $\pi$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm hàm hợp: Luôn nhớ nhân thêm $u'$. Đặc biệt với các hàm lượng giác mũ cao như $\sin^n x$ hay $\cos^n x$.

• Giá trị lượng giác đặc biệt: Việc thuộc bảng giá trị lượng giác của các góc $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ là chìa khóa để giải nhanh các bài toán này.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên nhân $\cos x$: Nhiều bạn chỉ tính đạo hàm $\sin^3 x$ ra $3 \sin^2 x$, dẫn đến kết quả sai (thường chọn đáp án C hoặc D).

• Nhầm lẫn giá trị lượng giác: Nhầm $\cos(\frac{\pi}{2}) = 1$ thay vì $0$, dẫn đến việc tính thừa hằng số $3$ vào kết quả.

• Sai sót khi triệt tiêu: Sơ suất khi nhân $2 \cdot \frac{\pi}{2}$ dẫn đến kết quả khác $\pi$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài trắc nghiệm tính đạo hàm tại điểm $x_0 = \frac{\pi}{2}$ hoặc $x_0 = 0$:

1. Hãy quan sát biểu thức có chứa $\sin x$ hay $\cos x$.

2. Nếu biểu thức đạo hàm có chứa $\cos x$ và thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào, cụm đó sẽ bằng $0$ ngay lập tức.

3. Nếu biểu thức đạo hàm có chứa $\sin x$ và thay $x = 0$ vào, cụm đó cũng sẽ bằng $0$.

   Việc nhận diện nhanh các điểm làm biểu thức triệt tiêu sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian bấm máy tính!