Bài 9.1 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài 9.1 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² – x tại x₀ = 1;

b) y = –x³ tại x₀ = –1.

Phương pháp giải

Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ bằng định nghĩa, chúng ta sử dụng công thức giới hạn sau:

Giải bài 9.1 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^2 - x$ tại $x_0 = 1$

Bước 1: Xác định các giá trị cần thiết.

• $f(x) = x^2 - x$

• $f(1) = 1^2 - 1 = 0$

Bước 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm.

Bước 3: Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ bằng cách phân tích nhân tử.

Bước 4: Tính giới hạn.

Kết luận: Vậy đạo hàm của hàm số tại $x_0 = 1$ là $f'(1) = 1$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$

Bước 1: Xác định các giá trị cần thiết.

• $f(x) = -x^3$

• $f(-1) = -(-1)^3 = -(-1) = 1$

Bước 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm.

Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ để khử dạng vô định.

Bước 4: Thay giá trị $x = -1$ vào biểu thức.

Kết luận: Vậy đạo hàm của hàm số tại $x_0 = -1$ là $f'(-1) = -3$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.

• Kỹ năng bổ trợ: Nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để giải quyết các giới hạn dạng $\frac{0}{0}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai giá trị $f(x_0)$: Đặc biệt là với các hàm số có dấu trừ phía trước như câu b, học sinh thường nhầm dấu khi lũy thừa số âm.

• Quên khử mẫu: Không rút gọn nhân tử $(x - x_0)$ mà thay số trực tiếp dẫn đến kết quả vô nghĩa.

Mẹo giải nhanh

Sau khi tính bằng định nghĩa, các em có thể sử dụng các quy tắc tính đạo hàm nhanh để kiểm tra lại kết quả:

• Câu a: $(x^2 - x)' = 2x - 1$. Thay $x = 1 \Rightarrow 2(1) - 1 = 1$. (Đúng)

• Câu b: $(-x^3)' = -3x^2$. Thay $x = -1 \Rightarrow -3(-1)^2 = -3$. (Đúng)