Bài 9.1 trang 86 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài 9.1 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² – x tại x₀ = 1;

b) y = –x³ tại x₀ = –1.

Phân tích lý thuyết

Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ bằng định nghĩa, chúng ta sử dụng công thức giới hạn sau:

(Điều kiện: Giới hạn này phải tồn tại và hữu hạn).

Giải bài 9.1 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm của $y = x^2 - x$ tại $x_0 = 1$

• Bước 1: Tính giá trị hàm số tại $x_0 = 1$:

  $f(1) = 1^2 - 1 = 0$

• Bước 2: Thiết lập giới hạn đạo hàm:

  $$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x - 0}{x - 1}$$

• Bước 3: Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ bằng cách phân tích nhân tử:

  $$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} x$$

• Bước 4: Thay giá trị $x = 1$ vào giới hạn:

  $f'(1) = 1$

Kết luận: Vậy $f'(1) = 1$.

b) Tính đạo hàm của $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$

• Bước 1: Tính giá trị hàm số tại $x_0 = -1$:

  $f(-1) = -(-1)^3 = -(-1) = 1$

• Bước 2: Thiết lập giới hạn đạo hàm:

  $$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1} \frac{-x^3 - 1}{x + 1}$$

• Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ để rút gọn:

  Ta có: $-x^3 - 1 = -(x^3 + 1) = -(x + 1)(x^2 - x + 1)$

  $$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{-(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} [-(x^2 - x + 1)]$$

• Bước 4: Thay giá trị $x = -1$ vào biểu thức:

  $f'(-1) = -[(-1)^2 - (-1) + 1] = -(1 + 1 + 1) = -3$

Kết luận: Vậy $f'(-1) = -3$.

Tổng kết kiến thức

• Định nghĩa đạo hàm: Là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia đối số tiến dần về 0.

• Kỹ năng bổ trợ: Để giải tốt bài tập này, các em cần thành thạo kỹ năng tính giới hạn và các hằng đẳng thức đáng nhớ để khử dạng vô định.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Sai dấu khi tính $f(x_0)$: Ví dụ ở câu (b), việc tính $f(-1) = -(-1)^3$ thường bị nhầm dấu âm dẫn đến kết quả sai ngay từ bước đầu.

2. Quên khử dạng vô định: Nhiều bạn thay số trực tiếp ngay khi chưa rút gọn, dẫn đến kết quả $\frac{0}{0}$ rồi bị tắc.

3. Nhầm hằng đẳng thức: Ở câu (b), việc phân tích $x^3 + 1$ thường bị nhầm dấu trong ngoặc thứ hai (nhầm sang $(x^2 + x + 1)$).

Mẹo giải nhanh

Sau khi tính bằng định nghĩa, các em có thể dùng các quy tắc tính đạo hàm nhanh (công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa) để kiểm tra kết quả:

• Câu a: $y' = (x^2 - x)' = 2x - 1$. Thay $x = 1 \Rightarrow y'(1) = 2(1) - 1 = 1$. (Chính xác)

• Câu b: $y' = (-x^3)' = -3x^2$. Thay $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = -3(-1)^2 = -3$. (Chính xác)