Bài 9.16 trang 96 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm

Bài 9.16 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = 2sin²(x + π/4). Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Phân tích lý thuyết

Để giải quyết bài toán chứng minh này, chúng ta cần thực hiện qua 3 giai đoạn chính:

1. Tính đạo hàm cấp một ($f'$): Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ và công thức nhân đôi lượng giác để tối giản biểu thức.

2. Tính đạo hàm cấp hai ($f''$): Đạo hàm tiếp tục dựa trên kết quả của $f'$.

3. Đánh giá trị tuyệt đối: Sử dụng tính chất bị chặn của hàm số Cosine: $|\cos \alpha| \leq 1$ với mọi góc $\alpha$.

Giải bài 9.16 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$

Ta có hàm số: $f(x) = 2\sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:

Áp dụng công thức nhân đôi $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$

Tiếp tục đạo hàm $f'(x)$:

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức

Ta biết rằng với mọi giá trị của biến số $x$, giá trị của hàm số Cosine luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$:

Nhân cả hai vế với 4 (là một số dương), ta được:

Kết luận: Vậy $|f''(x)| \leq 4$ với mọi $x$ (đpcm).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức nhân đôi: Giúp thu gọn biểu thức đạo hàm từ tích sang dạng đơn, làm cho việc tính đạo hàm cấp hai trở nên cực kỳ đơn giản.

• Tính bị chặn: Các hàm số $\sin x$ và $\cos x$ luôn có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Đây là chìa khóa để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên đạo hàm hàm hợp: Khi tính đạo hàm của $\sin(2x + \frac{\pi}{2})$, nhiều bạn quên nhân thêm hệ số 2 của biến $x$, dẫn đến kết quả $f''(x)$ chỉ bằng $2\cos(...)$ thay vì $4\cos(...)$.

2. Không tối giản biểu thức: Nếu để nguyên biểu thức $4\sin(...) \cos(...)$ để tính đạo hàm cấp hai bằng quy tắc tích, bài toán sẽ trở nên phức tạp và dễ sai sót về dấu.

3. Nhầm lẫn công thức lượng giác: Nhầm giữa công thức cộng và công thức nhân đôi hoặc sai hệ số khi biến đổi.

Mẹo giải nhanh

Nếu bạn thấy hàm số có dạng $y = A \cdot \sin^2(ux + v)$, đạo hàm cấp hai sẽ luôn có trị tuyệt đối cực đại là $|2 \cdot A \cdot u^2|$.

Trong bài này: $A=2, u=1$. Tuy nhiên, do có bước hạ bậc hoặc nhân đôi, hệ số sẽ biến đổi. Cách an toàn nhất là đưa về hàm bậc nhất của $\sin$ hoặc $\cos$ trước khi đạo hàm cấp hai.