Giải chi tiết Toán 10 Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Kết nối tri thức)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm Bài Tập hợp

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp là gì?

Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách phổ biến sau:

• Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp.

• Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Kí hiệu:

• $a \in S$: Phần tử $a$ thuộc tập hợp $S$.

• $a \notin S$: Phần tử $a$ không thuộc tập hợp $S$.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp $S$ được kí hiệu là $n(S)$. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là $\emptyset$. Lưu ý: $\emptyset \neq \{0\}$.

Ví dụ: Cho tập hợp $A$ là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2, lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15. Ta mô tả tập hợp $A$ bằng hai cách như sau:

• Cách 1 (Liệt kê): $A = \{6; 8; 10; 12; 14\}$.

• Cách 2 (Tính chất đặc trưng): $A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \:\vdots\: 2,\:\: 5 < n < 15\}$.

• Ta có số phần tử: $n(A) = 5$. Phần tử $10 \in A$, phần tử $15 \notin A$.

1.2. Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp $T$ đều là phần tử của tập hợp $S$ thì ta nói $T$ là một tập hợp con (tập con) của $S$ và viết là $T \subset S$ (đọc là $T$ chứa trong $S$ hoặc $T$ là tập con của $S$). Thay cho $T \subset S$, ta còn viết $S \supset T$ (đọc là $S$ chứa $T$).

Kí hiệu $T \not\subset S$ để chỉ $T$ không là tập con của $S$.

• Nhận xét: $T$ là tập con của $S$ nếu mệnh đề sau đúng: $\forall x, x \in T \Rightarrow x \in S$.

• Quy ước: Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Minh họa T là một tập con của S bằng biểu đồ Ven.

• Ví dụ: Cho các tập hợp:T=\{2;3;5\}, S=\{2;3;5;7;9\}, M=\{2;3;4;5\}.

  • Tập hợp T là tập con của tập hợp S (do mọi phần tử của T đều thuộc S). Ta viết T\subset S.

  • Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S (do có phần tử 4 thuộc M nhưng không thuộc S). Ta viết M\not\subset S.

1.3. Hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp $S$ và $T$ được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của $T$ cũng là phần tử của tập hợp $S$ và ngược lại. Kí hiệu là $S = T$.

• Nói cách khác: Nếu $S \subset T$ và $T \subset S$ thì $S = T$.

• Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {n | n là bội chung của 2 và  3; n < 20}:  và T = {n | n là bội của  6; n < 20}  .

  Ta có: $S=\{0;6;12;18\}$. $T=\{0;6;12;18\}$. Vậy $S=T$.

2. Các tập hợp số và mối quan hệ

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

• Tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}$

• Tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z} = \{\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots\}$

• Tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ gồm các số dạng $\frac{a}{b}$, với $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$.

• Tập hợp các số thực $\mathbb{R}$ gồm các số hữu tỉ và số vô tỉ.

• Mối quan hệ: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

• Ví dụ: Cho tập hợp $B=\{-1;2;4;10\}$.

  • Tập hợp B gồm các số nguyên: $-1; 2; 4; 10$ nên $B\subset\mathbb{Z}$.

  • Các số nguyên cũng là các số hữu tỉ và cũng là các số thực, nên $B\subset\mathbb{Q}$ và $B\subset\mathbb{R}$.

2.2. Các tập con thường dùng của $\mathbb{R}$

Trong giải tích, ta thường dùng các tập hợp con của số thực dưới dạng Khoảng, Đoạn và Nửa khoảng:

• • Khoảng:

    • $(a;b)=\{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}$
      

    • $(a;+\infty)=\{x\in\mathbb{R}|x>a\$

    • $(-\infty;b)=\{x\in\mathbb{R}|x<b\}$

    • $(-\infty;+\infty)$

  • Đoạn:

    • $[a;b]=\{x\in\mathbb{R}|a\le x\le b\}$

  • Nửa khoảng:

    • $[a;b)=\{x\in\mathbb{R}|a\le x<b\}$
      

    • $(a;b]=\{x\in\mathbb{R}|a<x\le b\}$

    • $[a;+\infty)=\{x\in\mathbb{R}|x\ge a\}$

    • $(-\infty;b]=\{x\in\mathbb{R}|x\le b\}$

Kí hiệu:

• • $+\infty$: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

  • $-\infty$: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

  • $a, b$ gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.

    Ví dụ:

  • Ta có: $5<x\le 10$ thì ta viết $x\in(5;10]$.

  • Ta có: $D=\{x\in\mathbb{R}|x<3\}=(-\infty;3)$.

3. Các phép toán trên tập hợp

3.1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $S$ và $T$ gọi là giao của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cap T$.

• Ví dụ: Cho 2 tập hợp: A=\{5;7;8\} và B=\{1;2;4;5;8\}. Giao của 2 tập hợp trên là tập hợpC=A\cap B=\{5;8\}.

3.2. Hợp của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp $S$ hoặc thuộc tập hợp $T$ gọi là hợp của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cup T$.

• Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S=\{1;2;3;5\} và T=\{2;4;6;7\}.

  Hợp của hai tập hợp trên là K=S\cup T=\{1;2;3;4;5;6;7\}.

3.3. Hiệu của hai tập hợp và Phần bù

• Hiệu: Hiệu của hai tập hợp $S$ và $T$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $S$ nhưng không thuộc $T$, kí hiệu là $S \setminus T$.

• Nếu $T\subset S$ thì $S\setminus T$ được gọi là phần bù của $T$ trong $S$, kí hiệu là $C_S T$.

  Ví dụ: Cho các tập hợp: $S=\{1;2;3;4;5;7;8\}$; $T=\{4;5;6;7;8;9\}$;

  X = {x | x (là các số nguyên dương nhỏ hơn) 9}

  Ta có: $S\setminus T=\{1;2;3\}.$ $T \setminus S=\{6;9\}$. Lại có: $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$

  Vì mọi phần tử của tập $S$ đều thuộc tập $X$ nên $S\subset X.$

  Phần bù của $S$ trong $X$ là $X\setminus S=C_X S=\{6\}.$

II. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập Toán 10 Bài 2

Bài 1.8 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Gọi $X$ là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ và biểu diễn tập $X$ bằng sơ đồ Venn.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Liệt kê các phần tử: Các em cần sử dụng kiến thức địa lý để xác định các quốc gia có chung đường biên giới trên đất liền với Việt Nam. Sau đó, viết tập hợp $X$ bằng cách đặt các phần tử trong cặp dấu ngoặc nhọn $\{\}$ và cách nhau bởi dấu chấm phẩy.

• Biểu diễn bằng sơ đồ Venn: Các em vẽ một hình khép kín (hình tròn hoặc elip) đại diện cho tập hợp $X$, sau đó viết tên các phần tử vào bên trong hình đó.

Lời giải chi tiết:

• Các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam trên đất liền bao gồm: Trung Quốc, Lào, Campuchia.

• Ta có tập hợp:

  $$X = \{\text{Trung Quốc}; \text{Lào}; \text{Campuchia}\}$$

• Biểu diễn tập hợp $X$ bằng sơ đồ Venn:

Bài 1.9 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Kí hiệu $E$ là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

• a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$.

• b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$.

• c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp $E$. Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Phần tử thuộc tập hợp: Khi nó thỏa mãn tính chất đặc trưng của tập hợp đó (nằm trong khu vực Đông Nam Á).

• Phần tử không thuộc tập hợp:Khi nó không thỏa mãn tính chất đặc trưng (nằm ngoài khu vực Đông Nam Á).

   

• Liệt kê và đếm:Viết tất cả các quốc gia Đông Nam Á vào trong dấu$\{\}$, sau đó đếm tổng số quốc gia.

   

Lời giải chi tiết:

• a)Các phần tử thuộc tập hợp $E$ là: Việt Nam, Singapore, Lào (các em có thể chọn quốc gia khác tùy ý).

   

• b) Các phần tử không thuộc tập hợp $E$ là: Mĩ, Nga, Anh.

• c) Các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á bao gồm: Việt Nam, Lào, Campuchia, Thái Lan, Myanmar, Malaysia, Singapore, Indonesia, Brunei, Philippines và Đông Timor.

  Như vậy, ta có:

  $$E = \{\text{Việt Nam}; \text{Lào}; \text{Campuchia}; \text{Thái Lan}; \text{Myanmar}; \text{Malaysia}; \text{Singapore}; \text{Indonesia}; \text{Brunei}; \text{Philippines}; \text{Đông Timor}\}$$

  Tập hợp$E$có tất cả11 phần tử. 

Bài 1.10 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài:Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chuyển từ cách liệt kê sang nêu tính chất đặc trưng, các em thực hiện:

1. Quan sát các phần tử: Tìm quy luật chung (các số $0, 4, 8, 12, 16$ đều chia hết cho 4).

2. Xác định tập hợp chứa: Đây là các số tự nhiên ($\mathbb{N}$).

3. Mô tả quy luật: Diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học (ví dụ: $x = 4n$ với điều kiện giới hạn của $n$ hoặc $x$).

Lời giải chi tiết:

Ta thấy tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên chia hết cho 4 và nhỏ hơn 18.

Bằng cách nêu tính chất đặc trưng, ta viết tập hợp $A$ như sau:

Hoặc cũng có thể viết theo giới hạn của biến $n$:

Bài 1.11 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

• $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 6 = 0\}$

• $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 6 = 0\}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Giải phương trình $x^2 - 6 = 0$ để tìm ra các giá trị nghiệm $x$.

• Bước 2 (Kiểm tra điều kiện): Xem các nghiệm vừa tìm được có thuộc tập hợp số thực ($\mathbb{R}$) đối với tập $A$, và có thuộc tập hợp số nguyên ($\mathbb{Z}$) đối với tập $B$ hay không.

• Tập hợp nào không chứa phần tử nào thỏa mãn điều kiện thì đó là tập rỗng ($\emptyset$).

Lời giải chi tiết:

Ta giải phương trình:

• Xét tập hợp $A$: Vì $-\sqrt{6}$ và $\sqrt{6}$ đều thuộc $\mathbb{R}$ nên $A = \{-\sqrt{6}; \sqrt{6}\}$.

• Xét tập hợp $B$: Vì $-\sqrt{6}$ và $\sqrt{6}$ không phải là số nguyên ($\notin \mathbb{Z}$) nên không có giá trị nào thỏa mãn điều kiện của $B$. Suy ra $B = \emptyset$.

Kết luận: Tập hợp $B$ là tập rỗng.

Bài 1.12 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Cho $X = \{a; b\}$. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

• a) $a \subset X$;

• b) $\{a\} \subset X$;

• c) $\emptyset \in X$.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Các em cần phân biệt rõ ý nghĩa của 3 kí hiệu cơ bản:

• Kí hiệu $\in$ (thuộc): Chỉ mối quan hệ giữa một phần tử và một tập hợp (VD: $a \in X$).

• Kí hiệu $\subset$ (tập con): Chỉ mối quan hệ giữa hai tập hợp. Mọi phần tử của tập này phải nằm trong tập kia (VD: $\{a\} \subset X$).

• Kí hiệu $\emptyset$ (tập rỗng): Quy ước tập rỗng luôn là tập con ($\subset$) của mọi tập hợp.

Lời giải chi tiết:

• a) Vì $a$ là một "phần tử" của tập $X$ nên kí hiệu đúng phải là $a \in X$. Kí hiệu $\subset$ chỉ dùng giữa hai tập hợp.

  $\Rightarrow$ Phát biểu a) SAI.

• b) Vì $\{a\}$ là một "tập hợp" chứa phần tử $a$, và phần tử $a$ này nằm trong tập $X$, nên tập hợp $\{a\}$ là tập con của tập $X$. Ta viết $\{a\} \subset X$.

  $\Rightarrow$ Phát biểu b) ĐÚNG.

• c) $\emptyset$ là tập hợp rỗng, và theo quy ước, tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, nên ta phải viết là $\emptyset \subset X$.

  $\Rightarrow$ Phát biểu c) SAI.

Bài 1.13 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Cho $A = \{2; 5\}$, $B = \{5; x\}$, $C = \{2; y\}$. Tìm $x, y$ để $A = B = C$.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có chứa các phần tử giống hệt nhau.

• Nếu $A = B$ thì mọi phần tử của $A$ phải có mặt trong $B$ và ngược lại. Áp dụng tương tự cho $A = C$.

Lời giải chi tiết:

• Theo bài ra ta có: $A = \{2; 5\}$ và $B = \{5; x\}$.

  Để tập $A = B$ thì tập $B$ bắt buộc phải chứa phần tử $2$. Do đó $x = 2$.

• Tương tự ta có: $A = \{2; 5\}$ và $C = \{2; y\}$.

  Để tập $A = C$ thì tập $C$ bắt buộc phải chứa phần tử $5$. Do đó $y = 5$.

Kết luận: Với $x = 2, y = 5$ thì ba tập hợp bằng nhau $A = B = C$.

Bài 1.14 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Cho $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x < 4\}$ và $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid (5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0\}$

• a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp $A$ và $B$.

• b) Hãy xác định các tập hợp $A \cap B, A \cup B$ và $A \setminus B$.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Liệt kê tập A: Tìm các số nguyên $x$ thỏa mãn $x < 4$.

• Liệt kê tập B: Giải phương trình tích $(5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0$. Sau đó chỉ nhận những nghiệm là số nguyên ($\mathbb{Z}$).

• Phép toán tập hợp:

  • Giao ($A \cap B$): Lấy phần tử chung.

  • Hợp ($A \cup B$): Lấy tất cả phần tử của cả hai tập.

  • Hiệu ($A \setminus B$): Lấy phần tử có trong $A$ nhưng loại bỏ những phần tử có mặt trong $B$.

Lời giải chi tiết:

a) Liệt kê các phần tử của $A$ và $B$:

• Tập hợp $A$ gồm các số nguyên nhỏ hơn 4:

  $$A = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$$

• Tập hợp $B$: Ta giải phương trình $(5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0$

  $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x - 3x^2 = 0 \\ x^2 + 2x - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{5}{3} \ (\text{Loại vì } \notin \mathbb{Z}) \\ x = 1 \\ x = -3 \end{array} \right.$$

  Vậy $B = \{-3; 0; 1\}$.

b) Xác định các tập hợp phép toán:

• $A \cap B$ (Giao): $A \cap B = \{-3; 0; 1\} = B$

• $A \cup B$ (Hợp): $A \cup B = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\} = A$

• $A \setminus B$ (Hiệu): Bỏ các phần tử $-3, 0, 1$ ra khỏi tập $A$:

  $$A \setminus B = \{\dots; -4; -2; -1; 2; 3\}$$

Bài 1.15 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Hãy xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

• a) $(-4; 1] \cap [0; 3)$

• b) $(0; 2] \cup (-3; 1]$

• c) $(-2; 1] \cap (1; +\infty)$

• d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Giao ($\cap$): Lấy phần chung của hai tập.

• Hợp ($\cup$): Lấy toàn bộ vùng phủ của hai tập.

• Hiệu ($\setminus$): Lấy tập trước gạch bỏ đi tập sau.

• Mẹo: Các em nên vẽ hai trục số song song hoặc gạch bỏ trên cùng một trục số để tìm miền kết quả chính xác nhất.

Lời giải chi tiết:

• a) $(-4; 1] \cap [0; 3)$

  Phần chung của khoảng từ $-4$ đến $1$ và khoảng từ $0$ đến $3$ là đoạn từ $0$ đến $1$.

•  

  Kết quả: $(-4; 1] \cap [0; 3) = [0; 1]$

• b) $(0; 2] \cup (-3; 1]$

  Gộp cả hai miền từ $0$ đến $2$ và từ $-3$ đến $1$, ta được một dải liên tục từ $-3$ đến $2$.

•  

  Kết quả: $(0; 2] \cup (-3; 1] = (-3; 2]$

• c) $(-2; 1] \cap (1; +\infty)$

  Tập đầu tiên lấy điểm $1$ (ngoặc vuông), nhưng tập thứ hai không lấy điểm $1$ (ngoặc tròn) và chạy về dương vô cực. Không có điểm chung nào.

•  

  Kết quả: $(-2; 1] \cap (1; +\infty) = \emptyset$

• d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$

  Từ trục số thực $\mathbb{R}$, ta bỏ đi miền từ âm vô cực đến $3$ (bỏ luôn điểm 3), ta còn lại miền lớn hơn $3$.

•  

  Kết quả: $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3] = (3; +\infty)$

Bài 1.16 (Trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức - Tập 1)

Đề bài: Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

• a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

• b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

• c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Các em sử dụng biểu đồ Venn để hình dung hoặc dùng công thức đại số của phép toán tập hợp:

• Gọi$A$là tập hợp người dịch tiếng Anh$\Rightarrow n(A) = 35$.

   

• Gọi$B$là tập hợp người dịch tiếng Pháp$\Rightarrow n(B) = 30$.

   

• Giao của$A$và$B$là số người dịch được cả hai thứ tiếng$\Rightarrow n(A \cap B) = 16$.

   

• Tổng số người là$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

• Số người chỉ dịch được một ngôn ngữ chính là phép hiệu tập hợp: $n(A \setminus B)$ và $n(B \setminus A)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có sơ đồ Venn minh họa như sau:

• a) Số người phiên dịch ban tổ chức đã huy động cho hội nghị là (Tính phần Hợp):

  $$35 + 30 - 16 = 49 \ (\text{người})$$

  Vậy ban tổ chức đã huy động 49 người.

• b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh là (Tính phần Hiệu):

  $$35 - 16 = 19 \ (\text{người})$$

  Vậy có 19 người chỉ phiên dịch được tiếng Anh.

• c) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là (Tính phần Hiệu):

  $$30 - 16 = 14 \ (\text{người})$$

  Vậy có 14 người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp.