Bài 5.23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước, hệ thống bảng biểu tính toán chuẩn xác giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.23 (SGK Toán 10 - Trang 89)

Điểm môn Toán và môn Tiếng Anh của 11 học sinh lớp 10 (được ký hiệu từ A đến K) được cho trong bảng số liệu sau:

Câu hỏi: Hãy so sánh mức độ học đều của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.

II. Phương pháp luận và tiêu chuẩn đánh giá "Mức độ học đều"

Để đưa ra kết luận môn học nào học sinh học tập đồng đều hơn, các em học sinh cần ghi nhớ tiêu chuẩn thống kê sau:

• Các số đo độ phân tán (Khoảng biến thiên $R$, Khoảng tứ phân vị $\Delta Q$, Độ lệch chuẩn $s$) dùng để đo mức độ lệch, sự rải rác của dữ liệu so với tâm đối xứng.

• Quy tắc đánh giá: Mẫu số liệu nào có các giá trị số đo độ phân tán càng nhỏ chứng tỏ các điểm số càng co cụm, sát gần nhau $\rightarrow$ Học sinh học tập càng đồng đều. Ngược lại, số đo độ phân tán càng lớn chứng tỏ điểm số bị phân hóa, rời rạc $\rightarrow$ Học sinh học tập không đều.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.23

Dung lượng mẫu số liệu của cả hai môn học đều là $n = 11$ (số lẻ). Chúng ta tiến hành phân tích độc lập từng môn học:

Giai đoạn 1: Khảo sát mẫu số liệu môn Toán

• Sắp xếp điểm môn Toán theo thứ tự không giảm:

  $$5;\quad 31;\quad 37;\quad 43;\quad 43;\quad 57;\quad 62;\quad 63;\quad 78;\quad 80;\quad 91$$

• Tính Khoảng biến thiên ($R_{\text{Toán}}$):

  $$R_{\text{Toán}} = x_{\max} - x_{\min} = 91 - 5 = 86$$

• Xác định các khoảng Tứ phân vị và Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q_{\text{Toán}}$):

  • Vì $n = 11$ là số lẻ, tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (Trung vị) chính là giá trị đứng ở chính giữa (vị trí thứ 6): $Q_2 = 57$.

  • Nửa số liệu bên trái $Q_2$ gồm 5 số nhỏ: $5;\quad 31;\quad \mathbf{37};\quad 43;\quad 43 \rightarrow Q_1 = 37$.

  • Nửa số liệu bên phải $Q_2$ gồm 5 số lớn: $62;\quad 63;\quad \mathbf{78};\quad 80;\quad 91 \rightarrow Q_3 = 78$.

    $$\Rightarrow \Delta Q_{\text{Toán}} = Q_3 - Q_1 = 78 - 37 = 41$$

• Tính Số trung bình cộng ($\overline{X}_{\text{Toán}}$):

  $$\overline{X}_{\text{Toán}} = \frac{5 + 31 + 37 + 43 + 43 + 57 + 62 + 63 + 78 + 80 + 91}{11} = \frac{590}{11} \approx 53,64$$

• Bảng tính toán bình phương độ lệch để tìm Độ lệch chuẩn môn Toán:

• Tính Phương sai ($s^2_{\text{Toán}}$) và Độ lệch chuẩn ($s_{\text{Toán}}$):

  $$s^2_{\text{Toán}} = \frac{6234,55}{11} \approx 566,78 \Rightarrow s_{\text{Toán}} = \sqrt{566,78} \approx 23,81$$

Giai đoạn 2: Khảo sát mẫu số liệu môn Tiếng Anh

• Sắp xếp điểm môn Tiếng Anh theo thứ tự không giảm:

  $$37;\quad 41;\quad 49;\quad 55;\quad 57;\quad 62;\quad 64;\quad 65;\quad 65;\quad 70;\quad 73$$

• Tính Khoảng biến thiên ($R_{\text{Anh}}$):

  $$R_{\text{Anh}} = x_{\max} - x_{\min} = 73 - 37 = 36$$

• Xác định các khoảng Tứ phân vị và Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q_{\text{Anh}}$):

  • Vì $n = 11$ là số lẻ, tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (Trung vị) chính là giá trị đứng ở chính giữa (vị trí thứ 6): $Q_2 = 62$.

  • Nửa số liệu bên trái $Q_2$ gồm 5 số nhỏ: $37;\quad 41;\quad \mathbf{49};\quad 55;\quad 57 \rightarrow Q_1 = 49$.

  • Nửa số liệu bên phải $Q_2$ gồm 5 số lớn: $64;\quad 65;\quad \mathbf{65};\quad 70;\quad 73 \rightarrow Q_3 = 65$.

    $$\Rightarrow \Delta Q_{\text{Anh}} = Q_3 - Q_1 = 65 - 49 = 16$$

• Tính Số trung bình cộng ($\overline{X}_{\text{Anh}}$):

  $$\overline{X}_{\text{Anh}} = \frac{37 + 41 + 49 + 55 + 57 + 62 + 64 + 65 + 65 + 70 + 73}{11} = \frac{638}{11} = 58$$

• Bảng tính toán bình phương độ lệch để tìm Độ lệch chuẩn môn Tiếng Anh:

• Tính Phương sai ($s^2_{\text{Anh}}$) và Độ lệch chuẩn ($s_{\text{Anh}}$):

  $$s^2_{\text{Anh}} = \frac{1340}{11} \approx 121,82 \Rightarrow s_{\text{Anh}} = \sqrt{121,82} \approx 11,04$$

Giai đoạn 3: Lập bảng so sánh đối chiếu và kết luận

Để đưa ra nhận xét tổng quan cuối cùng, chúng ta tiến hành tổng hợp tất cả các số đo độ phân tán vừa tìm được của hai môn học vào bảng đối chiếu sau:

Mạch lập luận chốt kết quả: Qua bảng so sánh, ta thấy toàn bộ các chỉ số đo độ phân tán của môn Tiếng Anh đều nhỏ hơn môn Toán rất nhiều (đặc biệt độ lệch chuẩn môn Tiếng Anh $11,04$ chưa bằng một nửa độ lệch chuẩn môn Toán $23,81$). Điều này minh chứng rằng điểm số môn Tiếng Anh của nhóm học sinh tập trung dày đặc, ít bị phân hóa biên hơn rất nhiều so với sự rải rác cực đoan của môn Toán.

Kết luận cuối cùng: Học sinh lớp 10 học tập môn Tiếng Anh đều hơn môn Toán.

IV. Mẹo bấm máy tính Casio Fx-580VN X so sánh hai mẫu số liệu

Đối với bài toán dài chứa hai tập dữ liệu độc lập như thế này, nếu các em nhập và xóa bảng tính thống kê từng môn sẽ rất mất thời gian. Các em hãy sử dụng mẹo kích hoạt Cột tần số phụ làm biến thứ hai trên máy tính Casio để quét một lúc cả hai môn học theo quy trình sau:

• Bước 1 (Mở bảng dữ liệu kép): Bấm SHIFT $\rightarrow$ MENU $\rightarrow$ bấm nút di chuyển xuống $\rightarrow$ chọn 3 (Stat) $\rightarrow$ chọn 1 (On) để mở cột tần số.

• Bước 2: Bấm MENU $\rightarrow$ chọn 6 (Statistics) $\rightarrow$ chọn 1 (1-Variable). Lúc này màn hình hiển thị hai cột là cột $X$ và cột $Freq$ (Tần số).

• Mẹo gán dữ liệu: Các em hãy coi cột $X$ là điểm môn Toán, cột $Freq$ là điểm môn Tiếng Anh. Nhập lần lượt điểm số của học sinh A đến K theo đúng cặp hàng dọc (ví dụ hàng đầu tiên nhập $X = 62$, $Freq = 65$).

• Bước 3 (Xuất đáp số siêu tốc): Sau khi nhập xong 11 cặp điểm, bấm nút AC $\rightarrow$ bấm OPTN $\rightarrow$ chọn 2 (1-Variable Calc).

  • Máy tính sẽ trả ngay kết quả của môn Toán ở các dòng $\overline{X}$, $\sigma x$.

  • Để xem kết quả môn Tiếng Anh, các em chỉ cần bấm OPTN $\rightarrow$ chọn nút chuyển đổi dữ liệu để máy tính đọc cột $Freq$. Mẹo gán kép này giúp các em kiểm tra đáp số cả hai bảng điểm cực nhanh mà không sợ bị gõ nhầm số liệu!

V. Kết luận

Bài tập 5.23 là một câu hỏi thực hành thống kê rất toàn diện, giúp học sinh bao quát và kết nối trọn vẹn tất cả các công thức tính toán đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu không ghép nhóm. Việc rèn luyện tính cẩn thận khi lập bảng bình phương độ lệch và tư duy nhận xét so sánh ngược – xuôi sẽ giúp các em học sinh làm chủ hoàn toàn các bài toán thực tế nâng cao.