Bài 4.30 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp bấm máy tính nhẩm nhanh đáp số.

I. Đề bài tập 4.29 (SGK Toán 10 - Trang 71)

Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

• A. $\vec{a}(1; 1)$

• B. $\vec{b}(1; -1)$

• C. $\vec{c}\left(2; \frac{1}{2}\right)$

• D. $\vec{d}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

Công thức tính độ dài vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, độ dài của một vectơ $\vec{u}(x; y)$ (ký hiệu là $|\vec{u}|$) được xác định bằng công thức căn bậc hai của tổng bình phương hoành độ và tung độ:

$$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Định nghĩa mở rộng: Một vectơ có độ dài bằng $1$ được gọi là vectơ đơn vị.

Để tìm ra đáp án chính xác cho bài toán này, chúng ta chỉ cần lần lượt áp dụng công thức trên để tính độ lớn của từng vectơ trong các phương án, vectơ nào cho kết quả bằng $1$ thì đó là đáp án cần chọn.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.29

Các em tiến hành khai triển công thức tính môđun cho từng phương án để biện luận loại trừ:

• Xét phương án A:

  Ta tính độ dài của vectơ $\vec{a}(1; 1)$:

  $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

  Vì độ dài $|\vec{a}| = \sqrt{2} \neq 1$ nên đây không phải vectơ có độ dài bằng 1. $\rightarrow$ A sai.

• Xét phương án B:

  Ta tính độ dài của vectơ $\vec{b}(1; -1)$:

  $$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

  Vì độ dài $|\vec{b}| = \sqrt{2} \neq 1$ nên đây không phải vectơ có độ dài bằng 1. $\rightarrow$ B sai.

• Xét phương án C:

  Ta tính độ dài của vectơ $\vec{c}\left(2; \frac{1}{2}\right)$:

  $$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$$

  Vì độ dài $|\vec{c}| = \frac{\sqrt{17}}{2} \neq 1$ nên phương án này không chính xác. $\rightarrow$ C sai.

• Xét phương án D:

  Ta tính độ dài của vectơ chứa căn thức ở mẫu số $\vec{d}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$:

  $$|\vec{d}| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2}$$

  Ta thực hiện bình phương phân số (mất dấu âm và mất căn thức ở mẫu):

  $$|\vec{d}| = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$$

  Vì độ dài $|\vec{d}| = 1$ nên đây chính là vectơ đơn vị cần tìm. $\rightarrow$ D đúng.

Đáp án chính xác: D

IV. Mẹo nhẩm nhanh bằng hệ thức lượng giác (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn bứt phá tốc độ và tạo phản xạ khoanh đáp án chính xác trong vòng 3 giây, các em hãy chú ý đến cấu trúc đặc biệt của phương án D:

• Trong lượng giác lớp 10, ta đã biết giá trị của góc đặc biệt $45^\circ$ (hay $\frac{\pi}{4}$) có các giá trị lượng giác tương ứng là:

  $$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{và} \quad \sin(-45^\circ) = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$

• Mặt khác, theo hệ thức lượng giác cơ bản, ta luôn có: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Do đó, bất kỳ một vectơ nào có tọa độ được thiết lập dưới dạng lượng giác $\vec{u}(\cos\alpha; \sin\alpha)$ thì độ dài của nó luôn luôn mặc định bằng $1$ mà không cần tính toán:

  $$|\vec{u}| = \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \sqrt{1} = 1$$

Nhờ mẹo nhìn hình thái tọa độ lượng giác này, các em có thể dễ dàng nhận ra ngay vectơ $\vec{d}$ ở phương án D chính là một vectơ đơn vị để khoanh ngay lập tức mà không cần mất thời gian đặt bút tính toán hằng đẳng thức!

V. Kết luận

Bài tập 4.29 là một câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ nhận biết vô cùng nhẹ nhàng nhưng rất dễ đánh lừa các học sinh có kỹ năng tính toán phân số hoặc bình phương số thực âm chưa vững. Việc nắm chắc công thức tính độ dài và mẹo nhận biết hệ số lượng giác sẽ giúp các em tự tin tối ưu hóa thời gian làm bài.