Bài 5.13 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước,biến đổi biểu thức toán học mạch lạc giúp các em học sinh dễ dàng nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.13 (SGK Toán 10 - Trang 88)

Cho một mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu sẽ thay đổi như thế nào nếu:

• a)Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với$2$.

• b)Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với$2$.

II. Thiết lập hệ thống công thức mẫu số liệu ban đầu

Để làm cơ sở đối chiếu cho phần biện luận,ta gọi các giá trị dương của mẫu số liệu ban đầu xếp theo thứ tự không giảm từ bé đến lớn là:

• Số trung bình cộng ($\overline{X}$):

  $$\overline{X} = \frac{a + b + c + d + e + f + g + h + i + k}{10}$$

• Phương sai ($s^2$):

  $$s^2 = \frac{(a - \overline{X})^2 + (b - \overline{X})^2 + (c - \overline{X})^2 + \dots + (k - \overline{X})^2}{10}$$

• Độ lệch chuẩn ($s$):

  $$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{(a - \overline{X})^2 + (b - \overline{X})^2 + (c - \overline{X})^2 + \dots + (k - \overline{X})^2}{10}}$$

• Khoảng biến thiên ($R$):Do giá trị lớn nhất là$k$,giá trị nhỏ nhất là$a$nên:

  $$R = k - a$$

• Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q$):Vì$n = 10$là số chẵn,ta tìm các khoảng phân vị:

  • Tứ phân vị thứ nhất$Q_1$là trung vị của nửa bên trái gồm 5 số đầu: $Q_1 = \frac{b + c}{2}$

  • Tứ phân vị thứ ba$Q_3$là trung vị của nửa bên phải gồm 5 số cuối: $Q_3 = \frac{h + i}{2}$

    $$\Rightarrow \Delta Q = Q_3 - Q_1 = \frac{h + i}{2} - \frac{b + c}{2}$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.13

a) Trường hợp nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2

Khi nhân mỗi giá trị với$2$,ta thu được dãy số liệu mới tăng tiến từ bé đến lớn là: $2a;\quad 2b;\quad 2c;\quad 2d;\quad 2e;\quad 2f;\quad 2g;\quad 2h;\quad 2i;\quad 2k$.

• Số trung bình cộng mới ($\overline{X'}$):

  $$\overline{X'} = \frac{2a + 2b + 2c + \dots + 2k}{10} = \frac{2(a + b + c + \dots + k)}{10} = 2\overline{X}$$

• Phương sai mới ($s'^2$):

  $$s'^2 = \frac{(2a - \overline{X'})^2 + (2b - \overline{X'})^2 + \dots + (2k - \overline{X'})^2}{10}$$
  $$s'^2 = \frac{(2a - 2\overline{X})^2 + (2b - 2\overline{X})^2 + \dots + (2k - 2\overline{X})^2}{10}$$

  Ta đặt nhân tử chung$2$ra ngoài dấu bình phương thành$2^2 = 4$:

  $$s'^2 = \frac{4\left[(a - \overline{X})^2 + (b - \overline{X})^2 + \dots + (k - \overline{X})^2\right]}{10} = 4s^2$$

• Độ lệch chuẩn mới ($s'$):

  $$s' = \sqrt{s'^2} = \sqrt{4s^2} = 2s$$

• Khoảng biến thiên mới ($R'$):

  $$R' = 2k - 2a = 2(k - a) = 2R$$

• Khoảng tứ phân vị mới ($\Delta Q'$):

  $$Q'_1 = \frac{2b + 2c}{2} = 2Q_1 \quad ; \quad Q'_3 = \frac{2h + 2i}{2} = 2Q_3$$
  $$\Rightarrow \Delta Q' = Q'_3 - Q'_1 = 2Q_3 - 2Q_1 = 2(Q_3 - Q_1) = 2\Delta Q$$

Kết luận câu a: Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$ thì khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của dãy số liệu mới đều tăng lên gấp 2 lần so với các giá trị ban đầu.

b) Trường hợp cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2

Khi cộng mỗi giá trị với $2$, ta thu được dãy số liệu mới tịnh tiến là: $a + 2;\quad b + 2;\quad c + 2;\quad \dots;\quad k + 2$.

• Số trung bình cộng mới ($\overline{X'}$)

  $$\overline{X'} = \frac{(2 + a) + (2 + b) + (2 + c) + \dots + (2 + k)}{10} = \overline{X} + 2$$

• Phương sai mới ($s'^2$)

  $$s'^2 = \frac{\left[(a + 2) - (\overline{X} + 2)\right]^2 + \left[(b + 2) - (\overline{X} + 2)\right]^2 + \dots + \left[(k + 2) - (\overline{X} + 2)\right]^2}{10}$$

  Ta triệt tiêu số $2$ ở trong từng dấu ngoặc hiệu:

  $$s'^2 = \frac{(a - \overline{X})^2 + (b - \overline{X})^2 + (c - \overline{X})^2 + \dots + (k - \overline{X})^2}{10} = s^2$$

• Độ lệch chuẩn mới $s'$

  $$s' = \sqrt{s'^2} = \sqrt{\frac{(a - \overline{X})^2 + (b - \overline{X})^2 + \dots + (k - \overline{X})^2}{10}} = s$$

• Khoảng biến thiên mới ($R'$):

  $$R' = (k + 2) - (a + 2) = k - a = R$$

• Khoảng tứ phân vị mới ($\Delta Q'$):

  $$Q'_1 = \frac{(b + 2) + (c + 2)}{2} = \frac{b + c + 4}{2} = \frac{b + c}{2} + 2 = Q_1 + 2$$
  $$Q'_3 = \frac{(h + 2) + (i + 2)}{2} = \frac{h + i + 4}{2} = \frac{h + i}{2} + 2 = Q_3 + 2$$
  $$\Rightarrow \Delta Q' = Q'_3 - Q'_1 = (Q_3 + 2) - (Q_1 + 2) = Q_3 - Q_1 = \Delta Q$$

Kết luận câu b: Khi cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$ thì khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của dãy số liệu mới hoàn toàn giữ nguyên không đổi so với ban đầu.

IV. Bản chất triết học thống kê (Mẹo giải trắc nghiệm siêu nhanh)

Để giúp các em học sinh của Hay Học Hỏi đạt tốc độ phản xạ làm bài thi trắc nghiệm đỉnh cao, các em hãy ghi nhớ định lý tổng quát về hình thái co giãn dữ liệu sau:

• Bản chất của phép Tịnh tiến (Phép Cộng/Trừ hằng số): Khi ta cộng tất cả các số liệu với cùng một số, toàn bộ tập hợp dữ liệu chỉ đơn thuần dịch chuyển đồng loạt sang bên phải trên trục số. Khoảng cách tương đối giữa các phần tử không hề thay đổi. Vì khoảng cách giữ nguyên, nên tất cả các số đo độ phân tán (R, $\Delta Q$, $s$) mặc định giữ nguyên không đổi.

• Bản chất của phép Co giãn (Phép Nhân/Chia hằng số): Khi ta nhân tất cả các số liệu với một số thực dương $k$, tập dữ liệu sẽ bị kéo giãn ra xa nhau. Khoảng cách giữa các phần tử lúc này bị khuếch đại lên đúng $k$ lần. Vì vậy, các số đo độ phân tán bậc nhất như Khoảng biến thiên, Khoảng tứ phân vị và Độ lệch chuẩn sẽ tăng lên đúng $k$ lần (Riêng phương sai là đại lượng bậc hai sẽ tăng lên $k^2$ lần).

Nhớ được hai từ khóa bản chất này: "Cộng trừ thì giữ nguyên - Nhân chia thì nhân lên", các em có thể tự tin chốt ngay đáp án các câu trắc nghiệm biện luận sai số mà không cần mất công viết một dòng công thức nào ra nháp!

V. Kết luận

Bài tập 5.13 là một câu hỏi lý thuyết vận dụng cao vô cùng đắt giá, bài toán giúp các em thấu hiểu sâu sắc cơ chế vận hành của các số đo độ phân tán dưới tác động của các phép toán đại số cơ bản. Việc nắm vững mẹo tịnh tiến và co giãn dữ liệu này sẽ giúp các em học sinh xử lý cực tốt các bài toán chuẩn hóa số liệu ở các lớp trên.