Bài 4.3 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết giúp các em học sinh nắm vững phương pháp lập luận toán học hai chiều.

I. Đề bài tập 4.3 (SGK Toán 10 - Trang 50)

Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

II. Phương pháp giải toán điều kiện cần và đủ

Mệnh đề chứa cụm từ "khi và chỉ khi" (kí hiệu là $\Leftrightarrow$) là một mệnh đề tương đương. Để chứng minh mệnh đề này, chúng ta cần thực hiện đầy đủ qua 2 bước (chứng minh 2 chiều):

• Chiều thuận ($\Rightarrow$): Giả sử tứ giác $ABCD$ đã là hình bình hành, ta cần chứng minh đẳng thức vectơ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

• Chiều nghịch ($\Leftarrow$): Giả sử đã có đẳng thức vectơ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, ta cần chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

III. Lời giải chi tiết bài 4.3

Sau đây là các bước chứng minh chi tiết cho cả hai chiều của bài toán:

1. Chiều thuận ($\Rightarrow$): Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, chứng minh $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$

• Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên theo tính chất định nghĩa, hai cạnh đối $AD$ và $BC$ song song với nhau: $AD \parallel BC$.

• Do $AD \parallel BC$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là hai vectơ cùng phương (giá của chúng song song).

• Quan sát theo chiều thứ tự các đỉnh của hình bình hành, ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng từ trái sang phải, suy ra chúng là hai vectơ cùng hướng.

• Mặt khác, theo tính chất của hình bình hành thì các cạnh đối có độ dài bằng nhau: $AD = BC$, hay nói cách khác là độ lớn của hai vectơ bằng nhau: $|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{BC}|$.

• Vì hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ vừa cùng hướng, vừa có độ dài bằng nhau nên theo định nghĩa:

  $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$$

2. Chiều nghịch ($\Leftarrow$): Nếu có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

• Theo giả thiết đề bài cho: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

• Theo định nghĩa về hai vectơ bằng nhau, ta suy ra hai điều kiện sau:

  1. Hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng, điều này kéo theo chúng phải cùng phương (giá của chúng song song hoặc trùng nhau). Do bốn đỉnh $A, B, C, D$ tạo thành một tứ giác nên hai đường thẳng $AD$ và $BC$ không thể trùng nhau, tức là: $AD \parallel BC \quad (1)$.

  2. Độ dài của hai vectơ bằng nhau: $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$, điều này kéo theo độ dài hai cạnh đối bằng nhau: $BC = AD \quad (2)$.

• Xét tứ giác $ABCD$, từ $(1)$ và $(2)$ ta thấy tứ giác này có một cặp cạnh đối $AD$ và $BC$ vừa song song, vừa bằng nhau. Theo dấu hiệu nhận biết hình học phẳng lớp 9, tứ giác $ABCD$ bắt buộc phải là một hình bình hành.

Kết luận tổng quát: Tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ (Đpcm).

IV. Mẹo nhỏ áp dụng khi làm bài tập hình học vectơ

Từ định lý được chứng minh ở bài 4.3, các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể bỏ túi một công thức viết nhanh để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

Chỉ cần chỉ ra được một cặp vectơ cạnh đối bằng nhau theo đúng thứ tự vòng tròn đỉnh, ví dụ: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ hoặc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, các em có quyền kết luận ngay tứ giác đó là hình bình hành mà không cần giải thích dài dòng qua các bước góc hay cạnh song song.

V. Kết luận

Chứng minh hai chiều giúp các em học sinh hiểu sâu sắc bản chất và tính chất hai mặt tương đương giữa hình học thuần túy và biểu diễn vectơ.