Bài 4.1 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phần biện luận lý thuyết trực quan giúp các em học sinh nắm vững bài học.

I. Đề bài tập 4.1 (SGK Toán 10 - Trang 50)

Cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

• a) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$;

• b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$;

• c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;

• d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ then $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

II. Lời giải chi tiết và biện luận toán học

Sau đây là phần phân tích tính đúng / sai của từng khẳng định dựa trên định nghĩa về vectơ:

Khẳng định a) ĐÚNG

• Lý do: Theo quy ước toán học cơ bản về vectơ-không: Vectơ $\vec{0}$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, khẳng định ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$ là hoàn toàn chính xác.

Khẳng định b) SAI

• Lý do: Hai vectơ chỉ có thể xét tính chất "cùng hướng" hay "ngược hướng" khi chúng đã cùng phương với nhau. Nếu hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có giá cắt nhau (không cùng phương), chúng sẽ không cùng hướng và cũng không ngược hướng.

• Do đó, khẳng định $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì bắt buộc phải ngược hướng là sai.

Khẳng định c) ĐÚNG

• Lý do: Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Theo giả thiết:

  • $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{c} \Rightarrow$ Giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$.

  • $\vec{b}$ cùng phương với $\vec{c} \Rightarrow$ Giá của $\vec{b}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$.

• Theo tính chất bắc cầu trong hình học phẳng, giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ chắc chắn sẽ song song hoặc trùng nhau. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

  

Khẳng định d) ĐÚNG

• Lý do: Ta có $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$, suy ra cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ (theo kết quả câu c thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương với nhau).

• Vì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, đồng thời mũi tên chỉ hướng của chúng đều ăn khớp với hướng đi của vectơ trung gian $\vec{c}$, nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bắt buộc phải cùng hướng với nhau.

  

III. Tổng kết kiến thức trọng tâm cần nhớ

Qua bài tập 4.1, các em học sinh của HayHocHoi.Vn cần ghi nhớ 3 quy tắc "vàng" sau để không bị bẫy trong các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết:

1. Điều kiện để xét hướng: Chỉ xét khái niệm cùng hướng / ngược hướng khi hai vectơ đó đã cùng phương (có giá song song hoặc trùng nhau).

2. Tính chất của vectơ $\vec{0}$: Luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ trên đời.

3. Tính chất bắc cầu: Hai vectơ phân biệt cùng phương (hoặc cùng hướng) với một vectơ thứ ba (khác $\vec{0}$) thì chúng cùng phương (hoặc cùng hướng) với nhau.

IV. Kết luận

Hiểu rõ các định nghĩa mở đầu về phương và hướng sẽ giúp các em dễ dàng tiếp thu các phép toán phức tạp hơn ở bài sau như phép cộng, phép trừ hai vectơ.