Bài 4.5 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, chính xác kèm hình vẽ minh họa trực quan.

I. Đề bài tập 4.5 (SGK Toán 10 - Trang 50)

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{MN}$ với các điểm $A(1; 2)$, $M(0; -1)$, $N(3; 5)$.

• a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

• b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \overrightarrow{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật thể sẽ tới $N$?

II. Lời giải chi tiết bài 4.5

Các em tiến hành xác định tọa độ các đỉnh trên mặt phẳng $Oxy$, nối điểm đầu với điểm cuối và đánh dấu mũi tên để thu được hình vẽ biểu diễn hai vectơ:

a) Mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$

• Về phương và hướng: Quan sát hình vẽ đồ thị tọa độ phẳng, ta thấy giá của hai đường thẳng $OA$ và $MN$ song song với nhau, mũi tên hướng lực của chúng đều chỉ chếch lên phía trên bên phải. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng.

• Về độ dài (Độ lớn): * Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Ox$, ta có tam giác vuông $\Delta OAH$ tại $H$ với các cạnh góc vuông $OH = 1$, $AH = 2$. Áp dụng định lý Pitago, độ dài vectơ $\overrightarrow{OA}$ là:

  $$OA = \sqrt{OH^2 + AH^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$

  • Kẻ tam giác vuông bổ trợ $\Delta MNK$ bằng cách dựng các đường thẳng song song với các trục tọa độ đi qua $M$ và $N$, ta xác định được độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là: $MK = 3$ và $NK = 5 - (-1) = 6$. Áp dụng định lý Pitago, độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$ là:

    $$MN = \sqrt{MK^2 + NK^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

• Mối liên hệ hình học: Ta thấy $3\sqrt{5} = 3 \times \sqrt{5} \Rightarrow MN = 3OA$. Vì hai vectơ cùng hướng và có độ dài gấp 3 lần nhau nên ta có đẳng thức vectơ:

  $$\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{OA}$$

b) Bài toán chuyển động thực tế của vật thể

• Xác định hướng đi: Vật thể khởi hành từ điểm $M$ và chuyển động thẳng đều theo hướng vận tốc $\vec{v} = \overrightarrow{OA}$. Vì vectơ vận tốc $\vec{v}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$, mà theo kết quả câu a, vectơ $\overrightarrow{MN}$ cũng cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$. Điều này chứng tỏ tia chuyển động xuất phát từ $M$ sẽ trùng với tia $MN$. Do đó, vật thể chắc chắn có đi qua điểm $N$.

• Tính thời gian chuyển động:

  • Vận tốc chuyển động của vật thể có độ lớn bằng độ dài của vectơ vận tốc:

    $$v = |\vec{v}| = |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{5} \text{ (đơn vị độ dài/giờ)}$$

  • Quãng đường vật thể cần di chuyển từ điểm $M$ đến điểm $N$ chính là độ dài đoạn thẳng $MN$:

    $$s = MN = 3\sqrt{5} \text{ (đơn vị độ dài)}$$

  • Thời gian để vật thể di chuyển từ vị trí $M$ đến vị trí $N$ là:

    $$t = \frac{s}{v} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3 \text{ (giờ)}$$

Kết luận: Vật thể có đi qua điểm $N$ và sau $3$ giờ chuyển động thẳng đều thì vật sẽ tới nơi.

III. Kiến thức mở rộng: Tọa độ vectơ lớp 10 (Mẹo tính nhanh)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể giải nhanh bài toán này bằng đại số trong các kỳ thi trắc nghiệm mà không cần vẽ hình, chúng ta áp dụng công thức tính tọa độ vectơ như sau:

Cho $M(x_M; y_M)$ và $N(x_N; y_N)$, tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$ được tính bằng công thức:

$$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M)$$

Áp dụng vào bài toán:

• Với $O(0;0), A(1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = (1 - 0; 2 - 0) = (1; 2)$.

• Với $M(0;-1), N(3;5) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (3 - 0; 5 - (-1)) = (3; 6)$.

• Ta dễ dàng nhận thấy: $\overrightarrow{MN} = (3; 6) = 3 \cdot (1; 2) = 3\overrightarrow{OA}$.

• Hệ số hằng số $k = 3 > 0$ khẳng định ngay hai vectơ này cùng hướng và độ lớn gấp 3 lần nhau mà không cần qua các bước dựng tam giác vuông phức tạp!

IV. Kết luận

Bài toán chuyển động liên quan đến vectơ giúp học sinh kết nối tư duy toán học lý thuyết với các hiện tượng động học vật lý trong đời sống hàng ngày một cách thực tế.