Bài 5.22 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cùng mạch biện luận khoa học giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.22 (SGK Toán 10 - Trang 89)

Lương khởi điểm của 5 sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị: triệu đồng) được ghi nhận như sau:

• a) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này. 

• b)Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân táncủa mẫu số liệu trên? Vì sao?

II. Phương pháp luận và tiêu chí lựa chọn số đặc trưng

Để lập luận chặt chẽ cho bài toán phân tích xu hướng và sai số này, các em học sinh cần bám sát hai nguyên lý chống nhiễu dữ liệu sau:

1. Tính nhạy cảm của Số trung bình và Khoảng biến thiên: Cả hai đại lượng này đều sử dụng trực tiếp các giá trị biên (nhỏ nhất và lớn nhất). Nếu trong mẫu xuất hiện một giá trị đột biến quá nhỏ hoặc quá lớn (giá trị bất thường - outliers) thì số trung bình sẽ bị kéo lệch đi và khoảng biến thiên sẽ bị phóng đại lên, làm sai lệch bản chất của đa số số liệu còn lại.

2. Tính bền vững của Trung vị và Khoảng tứ phân vị: Hai đại lượng này chỉ tập trung vào vị trí đứng ở chính giữa và vùng lõi $50\%$ dữ liệu trung tâm. Do đó, chúng hoàn toàn "miễn nhiễm", không bị ảnh hưởng bởi sự biến động cực đoan của các giá trị bất thường ở hai đầu biên.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.22

Chúng ta tiến hành tính toán các thông số bổ trợ và lập luận cho từng yêu cầu của đề bài:

a) Giải thích lý do lựa chọn Số trung vị ($M_e$)

• Bước 1: Tính số trung bình cộng để làm đối chứng

  Mức lương khởi điểm trung bình của nhóm 5 sinh viên này là:

  $$\overline{X} = \frac{3,5 + 9,2 + 9,2 + 9,5 + 10,5}{5} = \frac{41,9}{5} = 8,38 \text{ triệu đồng}$$

• Bước 2: Phân tích hình thái dữ liệu

  Mẫu số liệu ban đầu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm: $3,5;\quad 9,2;\quad 9,2;\quad 9,5;\quad 10,5$.

  Quan sát kỹ, ta thấy có 4 sinh viên nhận mức lương khá đồng đều và tập trung ở ngưỡng cao (từ $9,2$ đến $10,5$ triệu). Tuy nhiên, xuất hiện duy nhất một sinh viên có mức lương thấp đột biến là $3,5$ triệu. Giá trị $3,5$ này chính là giá trị bất thường (outlier).

• Bước 3: Biện luận chọn đại lượng

  Do sự kéo sụt của mức lương $3,5$ triệu, số trung bình bị kéo xuống mức $8,38$ triệu. Con số $8,38$ này thấp hơn hẳn so với mức lương thực tế của tận $4/5$ sinh viên trong nhóm ($8,38 < 9,2$). Vì vậy, số trung bình không còn tính đại diện trung thực.

  Trong khi đó, số trung vị (giá trị đứng ở chính giữa dãy số lẻ) là:

  $$M_e = 9,2 \text{ triệu đồng}$$

  Giá trị $9,2$ triệu phản ánh rất chính xác và sát thực tế với mặt bằng chung lương khởi điểm của đa số sinh viên.

Kết luận câu a: Nên dùng Số trung vị vì mẫu số liệu có chứa giá trị bất thường ($3,5$), khiến số trung bình bị kéo lệch hẳn khỏi vùng tập trung của dữ liệu.

b) Nên dùng Khoảng biến thiên hay Khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán?

• Biện luận hình thái phân tán:

  • Nếu ta sử dụng Khoảng biến thiên ($R$): Công thức tính là $R = x_{\max} - x_{\min} = 10,5 - 3,5 = 7,0$. Con số sai số bằng $7$ này quá lớn, tạo cảm giác thu nhập của các sinh viên bị phân tán, co giãn rất dữ dội. Nhưng thực tế mặt bằng chung của 4 sinh viên kia lại cực kỳ đồng đều, chỉ lệch nhau chưa tới $1,5$ triệu. Sự phóng đại sai số này hoàn toàn do giá trị bất thường $3,5$ gây ra.

  • Nếu ta sử dụng Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q$): Đại lượng này sẽ khoanh vùng và chỉ đo độ co giãn của $50\%$ lượng dữ liệu lõi ở chính giữa, gạch bỏ hoàn toàn sự nhiễu loạn của số biên $3,5$ ở đầu dòng. Do đó, khoảng tứ phân vị sẽ phản ánh độ phân tán một cách khách quan và trung thực nhất.

Kết luận câu b: Nên dùng Khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán của mẫu số liệu này vì khoảng tứ phân vị có tính bền vững, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

IV. Mẹo tư duy thực tế la bàn (Mẹo thi trắc nghiệm lý thuyết)

Để giúp các em học sinh tạo phản xạ nhẩm nhanh và chốt ngay đáp án trắc nghiệm biện luận chỉ trong vòng 2 giây, các em hãy ghi nhớ quy luật cặp đôi "thần chú" sau:

• Dữ liệu đồng đều (Không có biến động đột biến): Auto chọn cặp bài trùng Số trung bình (đo xu thế) + Khoảng biến thiên/Độ lệch chuẩn (đo độ phân tán).

• Dữ liệu dị biệt (Có một số quá lớn hoặc quá nhỏ - Như bài toán Thu nhập/Lương): Auto chọn cặp bài trùng bảo vệ dữ liệu sạch là Số trung vị (đo xu thế) + Khoảng tứ phân vị (đo độ phân tán).

Cứ thấy đề bài nhắc đến bài toán "Mức lương", "Thu nhập của các hộ gia đình" hoặc "Sức chứa hành tinh đột biến" $\rightarrow$ Các em không cần đặt bút tính toán, hãy tìm ngay các phương án có chứa từ Trung vị và Khoảng tứ phân vị để khoanh. Mẹo la bàn này giúp các em tiết kiệm tối đa thời gian và đạt độ chính xác tuyệt đối!

V. Kết luận

Bài tập 5.22 là một câu hỏi kết thúc toàn bộ Chương V Thống kê lớp 10 vô cùng ý nghĩa. Nó giúp học sinh thoát ly khỏi tư duy tính toán cơ học để bước vào thế giới phân tích số liệu thực tế, biết cách ứng dụng toán học để giải quyết các bài toán kinh tế xã hội. Việc làm chủ tư duy loại bỏ giá trị dị biệt bằng công cụ trung vị và phân vị sẽ là hành trang tuyệt vời cho các em trong các cấp học tiếp theo.