Bài 5.9 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước cùng mạch lập luận thống kê logic giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.9 (SGK Toán 10 - Trang 83)

Số học sinh giỏi Quốc gia năm 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

• a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

• b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị (tứ phân vị thứ hai) lại trùng nhau.

II. Các công thức toán học cốt lõi áp dụng

1. Số trung bình ($\bar{x}$): Tổng tất cả các giá trị chia cho tổng số lượng phần tử $n = 10$.

2. Mốt ($M_o$): Giá trị có tần số xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

3. Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$): Chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần có số lượng phần tử bằng nhau.

   • $Q_2$ là trung vị của toàn bộ mẫu số liệu.

   • $Q_1$ là trung vị của nửa sơ cấp bên trái $Q_2$.

   • $Q_3$ là trung vị của nửa thứ cấp bên phải $Q_2$.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.9

a) Tìm số trung bình, mốt và các tứ phân vị

1. Tính Số trung bình ($\bar{x}$)

Trung bình số lượng học sinh giỏi Quốc gia tính trên mỗi trường Trung học phổ thông là:

2. Xác định Mốt ($M_o$)

Trong mẫu số liệu đã cho, giá trị $0$ xuất hiện tới $7$ lần (chiếm tần số lớn nhất tuyệt đối). Do đó, mốt của mẫu số liệu này là:

3. Xác định các khoảng Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$)

Để tìm tứ phân vị, trước hết các em học sinh cần thực hiện bước bắt buộc là sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (từ nhỏ đến lớn):

• Tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (Trung vị $M_e$):

  Vì tổng số phần tử $n = 10$ là một số chẵn, nên trung vị $Q_2$ sẽ bằng trung bình cộng của hai giá trị nằm ở chính giữa dãy (vị trí thứ 5 và thứ 6):

  $$Q_2 = \frac{0 + 0}{2} = 0$$

• Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

  Ta chia đôi mẫu số liệu thành hai nửa bằng nhau. Nửa bên trái $Q_2$ gồm 5 phần tử đầu tiên: $0;\quad 0;\quad 0;\quad 0;\quad 0$.

  Vì số phần tử là lẻ ($5$), trung vị $Q_1$ chính là giá trị đứng ở chính giữa (vị trí thứ 3):

  $$\Rightarrow Q_1 = 0$$

• Tìm tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

  Nửa bên phải $Q_2$ gồm 5 phần tử cuối cùng: $0;\quad 4;\quad 6;\quad 10;\quad 10$ (hoặc từ số liệu gốc sắp xếp là $0;\quad 4;\quad 6;\quad 10$ với chữ số $0$ thứ bảy đứng đầu). Cụ thể nửa bên phải là:

  $$0;\quad 4;\quad 6;\quad 10;\quad 10 \quad (\text{dãy đã xếp: } 0;\quad 4;\quad 6;\quad 10 \text{ từ tập số } 0; 0; 4; 6; 10)$$

  Hiệu đính dãy số nửa bên phải chính xác theo thứ tự sắp xếp gốc: $0;\quad 4;\quad 6;\quad 10 \text{ và một số } 0$ (tổng cộng có $7$ số $0$ nên nửa sau chứa một số $0$). Dãy chính xác là:

  $$0;\quad 4;\quad 6;\quad 10 \quad \rightarrow \text{ Sắp xếp đúng nửa sau: } 0;\quad 4;\quad 6;\quad 10 \text{ (thiếu một phần tử do gõ nhầm)}$$

  Lập luận chia đôi chuẩn xác: Dãy xếp gốc: $\underbrace{0;\quad 0;\quad 0;\quad 0;\quad 0}_{\text{Nửa bên trái}} ; \quad \underbrace{0;\quad 0;\quad 4;\quad 6;\quad 10}_{\text{Nửa bên phải}}$

  • Trung vị của nửa bên phải gồm 5 số liệu $0;\quad 0;\quad 4;\quad 6;\quad 10$ chính là giá trị đứng ở chính giữa (vị trí thứ 3 của nửa sau, tương ứng số 4):

    $$\Rightarrow Q_3 = 4$$

Kết luận câu a: Các số đặc trưng cần tìm của mẫu số liệu là: $\bar{x} = 2$; $M_o = 0$ và bộ ba tứ phân vị $Q_1 = 0$; $Q_2 = 0$; $Q_3 = 4$.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) và trung vị ($Q_2$) trùng nhau

• Bản chất thống kê: Trung vị $Q_2 = 0$ chia mẫu số liệu thành hai phần, trong đó nửa thấp hơn (bên trái) chiếm $50\%$ dung lượng mẫu dữ liệu.

• Khi ta tìm $Q_1$, ta lại tiếp tục tìm trung vị của nửa bên trái này (tương ứng với mốc $25\%$ lượng dữ liệu từ dưới lên). Tuy nhiên, vì số lượng trường không có học sinh giỏi Quốc gia chiếm tỷ trọng quá lớn (7 trên tổng số 10 trường, tương đương $70\%$ mẫu số liệu đều nhận giá trị bằng $0$).

• Do hơn $70\%$ dữ liệu tập trung ở mức thấp nhất là số $0$, nên cả mốc $25\%$ ($Q_1$) và mốc $50\%$ ($Q_2$) của biểu đồ phân bố đều rơi vào các vị trí chứa giá trị $0$.

Kết luận câu b: Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì phần lớn các giá trị ở nửa bên trái của mẫu số liệu đều bằng nhau và bằng $0$.

IV. Mẹo nhận diện nhanh hình thái mẫu số liệu tập trung (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn bứt phá tốc độ và tạo phản xạ khoanh đáp án lý thuyết chính xác trong vòng 3 giây, các em hãy ghi nhớ quy luật phân bố sau:

Quy luật trùng khoảng sinh: Trong một mẫu số liệu đã sắp xếp, nếu một giá trị xuất hiện với tần suất áp đảo (tần số $m > \frac{n}{2}$), thì giá trị đó chắc chắn vừa là Mốt ($M_o$), vừa trùng khít với Trung vị ($Q_2$).

Nếu giá trị đó nằm tràn sang cả các vị trí đầu dòng, nó sẽ kéo theo Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) trùng nhau luôn!

Áp dụng nhẩm nhanh vào bài 5.9: Mẫu có $n = 10$ số liệu mà số $0$ đã chiếm tới $7$ lần. Vì $7 > 5$ (quá bán) nên các em có thể khẳng định ngay lập tức mà không cần viết các bước chia nửa đội hình: $M_o = Q_2 = Q_1 = 0$. Mẹo này giúp các em tiết kiệm được rất nhiều thời gian đặt bút tính toán!

V. Kết luận

Bài tập 5.9 là một câu hỏi kết thúc Chương V vô cùng tinh tế. Nó giúp học sinh thoát ly khỏi lối học vẹt công thức toán học thuần túy để chạm đến tư duy phân tích, lý giải bản chất của biểu đồ phân vị thống kê. Việc làm chủ hiện tượng trùng nhau của các số đặc trưng sẽ giúp các em học sinh có nền tảng vững chắc cho các chuyên đề xác suất thống kê ở các lớp trên.