Bài 4.2 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp phân tích cụ thể cho từng yêu cầu của bài toán.

I. Đề bài tập 4.2 (SGK Toán 10 - Trang 50)

Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

II. Phương pháp phân tích hệ lưới ô vuông

Để giải quyết chính xác các bài toán vectơ nằm trên lưới ô vuông, các em cần bám sát các tiêu chí sau:

1. Xét tính cùng phương: Các vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Trên lưới ô vuông, chúng ta dựa vào độ dốc (tỷ lệ các cạnh góc vuông) để xác định xem các đường thẳng chứa vectơ có song song với nhau hay không.

2. Xét tính cùng hướng / ngược hướng: Khi các vectơ đã cùng phương, ta nhìn vào hướng mũi tên của chúng để kết luận.

3. Xét tính bằng nhau: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

III. Lời giải chi tiết bài 4.2

Quan sát trực quan tổng thể Hình 4.12, ta tiến hành phân tích các đặc tính của từng vectơ như sau:

• Về phương của vectơ: Các đường thẳng chứa ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ và $\vec{c}$ song song với nhau. Do đó, ba vectơ này cùng phương. Riêng vectơ $\vec{d}$ nằm trên đường thẳng cắt các đường thẳng chứa ba vectơ còn lại nên không cùng phương với chúng.

• Về độ dài (độ lớn) của vectơ: * Nếu coi mỗi ô vuông có cạnh bằng $1$, ta áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông bổ trợ để tính độ dài:

  • $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

  • $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

  • $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

  • $|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

  • Như vậy, về mặt độ dài, ta có: $|\vec{a}| = |\vec{c}| = |\vec{d}|$.

Từ các phân tích trên, chúng ta rút ra các kết luận chính xác cho bài toán:

1. Các vectơ cùng phương

Các vectơ cùng phương với nhau là:

2. Các cặp vectơ ngược hướng

Trong các vectơ cùng phương nêu trên, dựa vào chiều mũi tên ta xác định được:

• Vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ ngược hướng với nhau.

• Vectơ $\vec{b}$ và vectơ $\vec{c}$ ngược hướng với nhau.

3. Các cặp vectơ bằng nhau

Để hai vectơ bằng nhau, chúng phải hội tụ đủ 2 yếu tố: Cùng hướng và cùng độ dài.

• Xét cặp $\vec{a}$ và $\vec{c}$: Hai vectơ này cùng hướng (mũi tên cùng chỉ về hướng chếch lên phía trên bên phải) và có độ dài bằng nhau ($|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2\sqrt{5}$). Do đó: $\vec{a} = \vec{c}$.

• Xét cặp $\vec{a}$ và $\vec{d}$ (hoặc $\vec{c}$ và $\vec{d}$): Mặc dù có độ dài bằng nhau nhưng chúng không cùng phương nên không thể bằng nhau.

Kết luận: Cặp vectơ bằng nhau duy nhất trong hình là $\vec{a} = \vec{c}$.

IV. Lỗi sai học sinh thường gặp khi làm bài

Khi làm dạng bài tập này, học sinh rất dễ mắc phải sai lầm: Kết luận $\vec{a} = \vec{d}$ hoặc $\vec{c} = \vec{d}$.

• Nguyên nhân: Học sinh thường chỉ dùng mắt thường đếm số ô vuông bao quanh và thấy độ dài của các mũi tên bằng nhau rồi vội vàng kết luận bằng nhau mà quên mất điều kiện tiên quyết là chúng phải cùng hướng (muốn cùng hướng thì trước hết phải cùng phương).

V. Kết luận

Bài toán xác định mối quan hệ giữa các vectơ trên lưới ô vuông sẽ trở nên vô cùng đơn giản nếu các em xét đầy đủ cả hai yếu tố: Phương hướng và độ lớn.