Bài 4.9 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, áp dụng quy tắc hình bình hành phối hợp định lý định lý hàm số cosin để tìm độ lớn hợp lực chính xác nhất.

I. Đề bài tập 4.9 (SGK Toán 10 - Trang 54)

Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho biết $|\overrightarrow{F_1}| = 3\text{N}$, $|\overrightarrow{F_2}| = 2\text{N}$. Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$.

II. Phương pháp giải toán tổng hợp lực

Để tính độ lớn của một hợp lực gồm nhiều lực thành phần cùng tác dụng vào một điểm, các em cần tuân theo quy trình vật lý - toán học sau:

1. Biểu diễn hình học: Đặt các lực thành phần chung gốc và áp dụng quy tắc hình bình hành. Vectơ tổng (hợp lực) sẽ được biểu diễn bằng vectơ đường chéo của hình bình hành đó.

2. Tính toán độ lớn: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, cụ thể là định lý cosin trong tam giác bổ trợ để tính độ dài cạnh đường chéo.

III. Lời giải chi tiết bài 4.9

Để dễ dàng tính toán, ta tiến hành mô hình hóa các vectơ lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ thành các cạnh cụ thể của hình thoi/hình bình hành như hình vẽ dưới đây:

• Giả sử vật chịu tác động đặt tại điểm $A$. Ta biểu diễn:

  • Lực $\overrightarrow{F_1}$ bằng vectơ $\overrightarrow{AD}$ với độ dài $|\overrightarrow{F_1}| = AD = 3$.

  • Lực $\overrightarrow{F_2}$ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ với độ dài $|\overrightarrow{F_2}| = AB = 2$.

  • Góc giữa hai lực thành phần theo hình vẽ của đề bài cho là $\widehat{BAD} = 120^\circ$.

• Dựng hình bình hành $ABCD$. Theo tính chất góc kề của hình bình hành, ta tính được góc $\widehat{ADC}$ ở đáy bên trong:

  $$\widehat{ADC} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

• Theo tính chất các cạnh đối của hình bình hành:

  $$BC = AD = 3 \quad \text{và} \quad DC = AB = 2$$

• Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta thu gọn vectơ hợp lực về đường chéo $AC$:

  $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$$

• Do đó, độ lớn của hợp lực cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng $AC$:

  $$|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{AC}| = AC$$

• Xét tam giác $\Delta ADC$, áp dụng định lý hàm số cosin cho cạnh $AC$, ta có:

  $$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos\widehat{ADC}$$

• Thay các giá trị số đã biết vào biểu thức:

  $$AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$$
  $$AC^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$$
  $$\Rightarrow AC = \sqrt{7}$$

Kết luận: Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$ tác dụng lên vật thể là $\sqrt{7}$ N (xấp xỉ $2,65\text{N}$).

IV. Sai lầm phổ biến học sinh cần lưu ý

Khi làm bài toán ứng dụng thực tế này, rất nhiều học sinh mắc phải sai sót: Áp dụng nhầm góc khi tính định lý cosin.

• Lỗi sai: Học sinh lấy trực tiếp góc $120^\circ$ của đề bài đưa vào công thức tam giác: $AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 19 \Rightarrow AC = \sqrt{19}$.

• Phân tích: Công thức định lý cosin $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ áp dụng cho các góc bên trong một tam giác. Khi xét tam giác $\Delta ADC$, góc chúng ta dùng phải là góc $\widehat{D} = 60^\circ$ chứ không phải góc chung gốc $\widehat{A} = 120^\circ$. Các em nhớ chú ý điều này để không bị mất điểm đáng tiếc nhé!

V. Kết luận

Bài tập 4.9 là một bài toán rất hay giúp học sinh hiểu được ý nghĩa thực tiễn của vectơ trong đời sống. Việc thành thạo quy tắc hình bình hành phối hợp cùng định lý cosin sẽ giúp các em giải quyết mọi bài toán phân tích lực trong chương trình Vật lý 10 sắp tới.