Bài 4.7 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, lập luận chặt chẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp làm bài.

I. Đề bài tập 4.7 (SGK Toán 10 - Trang 54)

Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$.

II. Phương pháp giải toán

Để xác định vị trí của một điểm chưa biết thông qua đẳng thức vectơ, các em áp dụng 2 bước thu gọn sau:

• Bước 1: Sử dụng các quy tắc toán học cơ bản (Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) để thu gọn vế chứa các vectơ đã biết thành một vectơ duy nhất.

• Bước 2: Đưa đẳng thức về dạng $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$. Từ đây dựa vào dấu hiệu hai vectơ bằng nhau để xác định hình dạng tứ giác hoặc tính chất song song, từ đó suy ra vị trí chính xác của điểm $M$.

III. Lời giải chi tiết bài 4.7

1. Tìm vị trí của điểm $M$

• Xét hình bình hành $ABCD$ đề bài cho, áp dụng trực tiếp quy tắc hình bình hành đối với hai vectơ chung gốc $A$, ta có:

  $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \quad (1)$$

• Theo giả thiết, điểm $M$ cần tìm phải thỏa mãn đẳng thức:

  $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \quad (2)$$

• Từ $(1)$ và $(2)$, ta suy ra mối quan hệ tương đương:

  $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$$

• Theo định nghĩa về hai vectơ bằng nhau, đẳng thức $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$ kéo theo tứ giác $ABMC$ phải là một hình bình hành (theo đúng thứ tự vòng tròn các đỉnh).

Kết luận: Điểm $M$ cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABMC$. Nhìn trên hình vẽ, điểm $M$ nằm trên đường thẳng $DC$ kéo dài về phía bên phải sao cho đoạn thẳng $CM$ có độ dài bằng đoạn thẳng $AB$ (và bằng $DC$).

2. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$

• Vì tứ giác $ABMC$ là hình bình hành (chứng minh ở phần trên), ta có cặp cạnh đối bằng nhau và cùng hướng là:

  $$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} \quad (3)$$

• Mặt khác, vì tứ giác $ABCD$ cũng là hình bình hành theo giả thiết ban đầu, ta có cặp cạnh đối tương ứng:

  $$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \quad (4)$$

• Từ $(3)$ và $(4)$, theo tính chất bắc cầu ta thu được đẳng thức:

  $$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{DC}$$

• Mà ta đã biết hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ đối nhau ($\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$). Thế vào biểu thức trên ta được:

  $$\overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{CD}$$

Kết luận: Hai vectơ $\overrightarrow{CM}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ đối nhau (chúng có cùng độ dài nhưng ngược hướng nhau hoàn toàn). Điều này cũng đồng nghĩa với việc điểm $C$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $DM$.

IV. Kết luận kiến thức cần nhớ

Mấu chốt để giải bài toán xác định điểm $M$ này nằm ở việc sử dụng thành thạo quy tắc hình bình hành để thu gọn biểu thức $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ thành đường chéo $\overrightarrow{AC}$. Sau đó, các em chỉ cần chú ý đọc đúng thứ tự đỉnh của hình bình hành mới tạo thành ($ABMC$) để tránh việc vẽ nhầm vị trí của điểm $M$.