Bài 4.6 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp biến đổi đẳng thức vectơ dễ hiểu nhất.

I. Đề bài tập 4.6 (SGK Toán 10 - Trang 54)

Cho bốn điểm $A, B, C, D$ tùy ý. Chứng minh rằng:

• a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$

• b) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD}$

II. Nhắc lại lý thuyết tính toán vectơ cốt lõi

Để giải quyết các bài toán biến đổi đẳng thức vectơ, các em học sinh cần thuộc lòng hai quy tắc "vàng" sau:

1. Quy tắc ba điểm (Phép cộng): Với ba điểm $M, N, P$ bất kỳ, ta luôn có:

   $$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$$

   (Mẹo nhớ: Điểm cuối của vectơ trước là điểm đầu của vectơ sau thì ta "nối liền" mạch chữ).

2. Quy tắc hiệu (Phép trừ): Với ba điểm $O, M, N$ bất kỳ, ta luôn có:

   $$\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{NM}$$

   (Mẹo nhớ: Hai vectơ phải có cùng điểm đầu, kết quả thu được là vectơ đi ngược từ điểm ngọn của vectơ sau về điểm ngọn của vectơ trước).

III. Lời giải chi tiết bài 4.6

Sau đây là các bước biến đổi chi tiết cho từng câu bằng phương pháp biến đổi vế trái (VT) thành vế phải (VP):

a) Chứng minh: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$

• Biến đổi vế trái (VT):

  Ta áp dụng tính chất kết hợp của phép cộng để nhóm các cặp vectơ đứng cạnh nhau:

  $$\text{VT} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})$$

• Áp dụng quy tắc ba điểm:

  • Nhóm thứ nhất: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

  • Nhóm thứ hai: $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CA}$

  Thay vào biểu thức ta được:

  $$\text{VT} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$$

• Kết luận:

  Tiếp tục áp dụng quy tắc ba điểm cho bước cuối: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA}$. Mà một vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau chính là vectơ-không ($\vec{0}$).

  $$\text{VT} = \overrightarrow{0} = \text{VP (Đpcm)}$$

b) Chứng minh: $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD}$

Để chứng minh đẳng thức này, ta tiến hành biến đổi độc lập vế trái và vế phải để chứng minh chúng cùng bằng một vectơ thứ ba:

• Biến đổi vế trái (VT):

  Xét hai vectơ có chung điểm đầu là $A$, áp dụng trực tiếp quy tắc hiệu ta có:

  $$\text{VT} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} \quad (1)$$

• Biến đổi vế phải (VP):

  Xét hai vectơ có chung điểm đầu là $B$, áp dụng trực tiếp quy tắc hiệu ta có:

  $$\text{VP} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC} \quad (2)$$

• Kết luận:

  Từ $(1)$ và $(2)$, ta thấy cả vế trái và vế phải đều biến đổi về chung một kết quả là vectơ $\overrightarrow{DC}$.

  $$\Rightarrow \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC} \text{ (Đpcm)}$$

IV. Phương pháp mở rộng để giải nhanh toán vectơ

Ngoài cách giải trên, HayHocHoi.Vn bật mí cho các em thêm một phương pháp chuyển vế đổi dấu cực nhanh cho câu b:

Muốn chứng minh $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD}$, ta thực hiện chuyển các vectơ từ vế phải sang vế trái (vectơ chuyển vế sẽ đổi dấu thành vectơ đối):

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$$

Sắp xếp lại thứ tự các vectơ nối đuôi nhau:

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DD} = \overrightarrow{0} \text{ (Luôn đúng!)}$$

V. Kết luận

Thành thạo kỹ năng cộng, trừ các vectơ thông qua các điểm mút trung gian là chìa khóa vàng giúp các em học sinh xử lý tốt các bài toán phân tích vectơ phức tạp hơn ở các bài học tiếp theo.