Bài 4.10 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, chuẩn xác dưới góc nhìn toán học và vật lý giúp các em học sinh không bị nhầm lẫn khi làm bài.

I. Đề bài tập 4.10 (SGK Toán 10 - Trang 54)

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ đượclái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đángkể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bênkia trước?

II. Nguyên lý cốt lõi để giải bài toán qua sông

Bản chất vật lý: Thời gian một con tàu di chuyển sang bờ bên kia chỉ phụ thuộc vào hai yếu tố: Chiều rộng của dòng sông (khoảng cách giữa hai bờ) và thành phần vận tốc theo phương vuông góc với bờ sông. Vận tốc của dòng nước chảy xuôi dòng chỉ có tác dụng đẩy con tàu lệch đi theo phương song song với bờ sông (khiến tàu bị trôi về phía hạ lưu hoặc hạn chế trôi về thượng nguồn) chứ hoàn toàn không hỗ trợ hay cản trở việc tàu tiến về phía bờ đối diện.

III. Lời giải chi tiết bài 4.10

Để giải bài toán này một cách khoa học, ta mô hình hóa hai bờ sông là hai đường thẳng song song $d_1$ và $d_2$ có khoảng cách (chiều rộng sông) là $h$.

Gọi $\vec{v}_r$ là vectơ vận tốc riêng của tàu đối với nước và $\vec{v}_n$ là vectơ vận tốc của dòng nước đối với bờ (chảy song song với bờ từ thượng nguồn xuống hạ lưu).

Theo giả thiết đề bài cho:

• Độ lớn vận tốc riêng của hai tàu bằng nhau: $|\vec{v}_r| = v_0$ (không đổi).

• Cả hai tàu đều giữ bánh lái tạo với bờ một góc nhọn $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

1. Phân tích vận tốc thực tế của Tàu 1 (Hướng xuống hạ lưu)

• Tàu 1 xuất phát từ điểm $A'$ trên bờ $d_1$, hướng chếch xuôi theo dòng nước một góc $\alpha$.

• Vectơ vận tốc thực tế của Tàu 1 đối với bờ là: $\vec{v}_1 = \vec{v}_r + \vec{v}_n$ (biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{A'B'}$).

• Ta tiến hành phân tích vectơ vận tốc riêng $\vec{v}_r$ của Tàu 1 thành hai thành phần vuông góc:

  • Thành phần song song với bờ sông: $v_{r\parallel} = v_0 \cdot \cos\alpha$ (chạy cùng chiều dòng nước).

  • Thành phần vuông góc với bờ sông: $v_{r\perp} = v_0 \cdot \sin\alpha$ (hướng thẳng sang bờ bên kia).

• Do vectơ vận tốc dòng nước $\vec{v}_n$ hoàn toàn song song với bờ sông, nên thành phần vận tốc thực tế của Tàu 1 theo phương vuông góc với bờ sông chỉ do vận tốc riêng quyết định:

  $$v_{1\perp} = v_0 \cdot \sin\alpha$$

2. Phân tích vận tốc thực tế của Tàu 2 (Hướng lên thượng nguồn)

• Tàu 2 xuất phát từ điểm $A$ trên bờ $d_1$, hướng chếch ngược dòng nước một góc $\alpha$.

• Vectơ vận tốc thực tế của Tàu 2 đối với bờ là: $\vec{v}_2 = \vec{v}_r + \vec{v}_n$ (biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{AB}$).

• Tương tự, ta phân tích vectơ vận tốc riêng $\vec{v}_r$ của Tàu 2 thành hai thành phần vuông góc:

  • Thành phần song song với bờ sông: $v_{r\parallel} = v_0 \cdot \cos\alpha$ (chạy ngược chiều dòng nước).

  • Thành phần vuông góc với bờ sông: $v_{r\perp} = v_0 \cdot \sin\alpha$ (hướng thẳng sang bờ bên kia).

• Do vận tốc dòng nước không có thành phần vuông góc với bờ, nên thành phần vận tốc thực tế của Tàu 2 theo phương vuông góc với bờ sông cũng là:

  $$v_{2\perp} = v_0 \cdot \sin\alpha$$

3. So sánh thời gian qua sông của hai tàu

• Thời gian Tàu 1 sang đến bờ bên kia là: $t_1 = \frac{h}{v_{1\perp}} = \frac{h}{v_0 \cdot \sin\alpha}$

• Thời gian Tàu 2 sang đến bờ bên kia là: $t_2 = \frac{h}{v_{2\perp}} = \frac{h}{v_0 \cdot \sin\alpha}$

• Từ biểu thức đại số trên, ta thấy:

  $$t_1 = t_2$$

Kết luận cuối cùng: Cả hai con tàu sẽ sang đến bờ bên kia cùng một lúc (không có tàu nào sang trước). Tàu 1 hướng về hạ lưu sẽ bị dòng nước đẩy trôi đi xa hơn về phía xuôi dòng (cập bờ tại điểm $N'$ xa hơn), còn Tàu 2 hướng về thượng nguồn sẽ cập bờ tại vị trí ít bị trôi hơn (điểm $N$), nhưng thời gian di chuyển vuông góc của chúng là như nhau.

IV. Bài học kinh nghiệm tránh bẫy lý thuyết cho học sinh

Đây là một câu hỏi rất dễ đánh lừa trực giác của học sinh.

• Học sinh thường nghĩ rằng Tàu 1 đi xuôi dòng nước sẽ được nước "tiếp thêm lực" nên đi nhanh hơn và sang bờ trước. Hoặc ngược lại, lập luận theo hướng tính tổng độ lớn vectơ như lời giải cũ sẽ thấy vectơ vận tốc thực tế của Tàu 2 lớn hơn Tàu 1 nên kết luận Tàu 2 sang trước.

• Điểm mấu chốt cần khắc sâu: Vận tốc dòng nước chỉ làm thay đổi vị trí cập bờ (quãng đường di chuyển thực tế dài ngắn khác nhau) chứ hoàn toàn không ảnh hưởng tới thời gian qua sông của hai con tàu khi chúng giữ cùng một góc lái đối với bờ.

V. Kết luận

Hiểu đúng bản chất của việc phân tích vectơ thành các thành phần vuông góc độc lập giúp các em học sinh có một tư duy khoa học chính xác, tạo nền móng vững chắc để đạt điểm tối đa trong các bài toán định lượng liên quan đến chuyển động tròn hay ném ngang của Vật lý 10.