Bài 4.12 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và biện luận toán học logic nhất.

I. Đề bài tập 4.12 (SGK Toán 10 - Trang 58)

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng:

II. Phương pháp giải toán cốt lõi

Mệnh đề gồm chuỗi 3 vế bằng nhau dạng $P = Q = R$. Để chứng minh, chúng ta sẽ tách thành hai bài toán nhỏ độc lập:

• Phần 1: Chứng minh $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN}$ bằng cách chèn cặp điểm trung điểm $M, N$ vào vế trái.

• Phần 2: Chứng minh $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ bằng cách chèn tương tự cặp điểm trung điểm $M, N$ vào vế phải.

• Quy tắc bổ trợ: Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $CD$, theo tính chất vectơ trung điểm ta luôn có:

  $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$$
  $$\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.12

Sau đây là các bước biến đổi chi tiết tách biệt từng vế của đẳng thức hình học:

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và biện luận toán học logic nhất.

I. Đề bài tập 4.12 (SGK Toán 10 - Trang 58)

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng:

II. Phương pháp giải toán cốt lõi

Mệnh đề gồm chuỗi 3 vế bằng nhau dạng $P = Q = R$. Để chứng minh, chúng ta sẽ tách thành hai bài toán nhỏ độc lập:

• Phần 1: Chứng minh $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN}$ bằng cách chèn cặp điểm trung điểm $M, N$ vào vế trái.

• Phần 2: Chứng minh $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ bằng cách chèn tương tự cặp điểm trung điểm $M, N$ vào vế phải.

• Quy tắc bổ trợ: Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $CD$, theo tính chất vectơ trung điểm ta luôn có:

  $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$$
  $$\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.12

Sau đây là các bước biến đổi chi tiết tách biệt từng vế của đẳng thức hình học:

1. Chứng minh vế thứ nhất: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN}$

• Biến đổi vế trái (VT):

  Ta áp dụng quy tắc ba điểm mở rộng để chèn liên tiếp hai điểm trung điểm $M$ và $N$ vào giữa hai vectơ của vế trái:

  • Đối với vectơ $\overrightarrow{BC}$: Chèn $M$ và $N$ ta được: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$

  • Đối với vectơ $\overrightarrow{AD}$: Chèn $M$ và $N$ ta được: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$

• Cộng gộp hai biểu thức:

  $$\text{VT} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}) + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND})$$

• Nhóm các phần tử đồng dạng và triệt tiêu:

  $$\text{VT} = (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN}) + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$
  $$\text{VT} = 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$

• Vì $M$ là trung điểm của $AB \Rightarrow \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$.

• Vì $N$ là trung điểm của $CD \Rightarrow \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \vec{0}$.

• Thay vào biểu thức ta thu được hệ thức:

  $$\text{VT} = 2\overrightarrow{MN} + \vec{0} + \vec{0} = 2\overrightarrow{MN} \quad (*) $$

2. Chứng minh vế thứ ba: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$

• Biến đổi vế phải (VP):

  Tương tự như phương pháp trên, ta tiến hành chèn hai điểm trung điểm $M$ và $N$ vào cặp vectơ ở vế phải của đề bài:

  • Đối với vectơ $\overrightarrow{AC}$: Chèn $M$ và $N$ ta được: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$

  • Đối với vectơ $\overrightarrow{BD}$: Chèn $M$ và $N$ ta được: $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$

• Cộng gộp hai biểu thức:

  $$\text{VP} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}) + (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND})$$

• Nhóm các phần tử đồng dạng và triệt tiêu:

  $$\text{VP} = (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN}) + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$
  $$\text{VP} = 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$

• Áp dụng tính chất trung điểm $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$ và $\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \vec{0}$, ta thu được:

  $$\text{VP} = 2\overrightarrow{MN} + \vec{0} + \vec{0} = 2\overrightarrow{MN} \quad (**) $$

3. Kết luận tổng hợp bài toán

Từ hệ thức kết quả $(*)$ và $(**)$, ta thấy cả hai biểu thức tổng vectơ ban đầu đều biến đổi rút gọn về chung một đại lượng trung gian duy nhất là $2\overrightarrow{MN}$.

IV. Mẹo mở rộng hệ thống đẳng thức vectơ trong tứ giác

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thêm công cụ giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm hình học nâng cao, từ hệ thức đã chứng minh ở bài 4.12, chúng ta có thể suy ra một công thức rất hay sau:

Nếu ta chuyển vế đổi dấu đại lượng ở đẳng thức số (1) trong bài gốc:

$$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD}$$

Theo quy tắc hiệu, hệ thức chuyển thành: $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DC}$ (Luôn đúng!).

Do đó, với một tứ giác $ABCD$ bất kỳ, tổng hai vectơ cạnh đối luôn bằng tổng hai vectơ đường chéo tương ứng chèn điểm nối đuôi.

V. Kết luận

Phương pháp chèn điểm trung điểm đồng thời là một trong những kỹ thuật cơ bản và mạnh mẽ nhất của hình học vectơ lớp 10, giúp biến các đẳng thức phức tạp trở nên trực quan và dễ dàng triệt tiêu một cách khoa học.