Bài 8.13 trang 78 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 8.13 trang 78 Toán 11:

Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán cho chúng ta hai túi bi và yêu cầu lấy ngẫu nhiên một viên bi từ mỗi túi.

• Túi I: 3 xanh, 7 đỏ (tổng cộng 10 viên).

• Túi II: 10 xanh, 6 đỏ (tổng cộng 16 viên).

Vì việc lấy bi từ túi I và túi II là độc lập với nhau, chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của các biến cố đồng thời.

• Phần a) và b): Sử dụng quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập.

• Phần c): Biến cố "cùng màu" là hợp của hai biến cố "cùng màu xanh" và "cùng màu đỏ". Vì hai biến cố này xung khắc, ta có thể dùng quy tắc cộng xác suất.

• Phần d): Biến cố "không cùng màu" là biến cố đối của biến cố "cùng màu". Ta có thể tính xác suất của nó bằng cách lấy 1 trừ đi xác suất của biến cố đối.

Lời giải chi tiết:

Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi mỗi túi là độc lập.

Gọi biến cố A: “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”;

B là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”;

C là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu”.

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là: 3/10

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là: 

Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là:

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi I là: 7/10

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi II là: 6/16 = 3/8

Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là:

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu

Ta có C = A ∪ B mà A và B xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3/16 + 21/80 = 9/20 

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là: 9/20.

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu

Gọi biến cố D: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”.

Khi đó,  = C.

Suy ra: P(D) = 1 – P() = 1 – P(C) = 1 – 9/20 = 11/20

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là 11/20 (hay 0,55)