Bài 9.8 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.8 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin²x;

b) y = cos²x + sin2x;

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần vận dụng các quy tắc đạo hàm hàm hợp và các công thức đạo hàm lượng giác cơ bản:

• Đạo hàm hàm lượng giác: $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$; $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$; $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

• Đạo hàm hàm hợp: $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$; $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$.

• Đạo hàm tích: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

• Công thức nhân đôi: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Giải bài 9.8 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm hàm số $y = x \sin 2x$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(uv)' = u'v + uv'$ và đạo hàm hàm hợp $(\sin 2x)'$:

b) Tính đạo hàm hàm số $y = \cos^2 x + \sin 2x$

Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và đạo hàm hàm hợp $(\cos^2 x)' = ((\cos x)^2)'$:

Sử dụng công thức nhân đôi $2 \sin x \cos x = \sin 2x$:

c) Tính đạo hàm hàm số $y = \sin 3x - 3 \sin x$

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp cho $\sin 3x$:

d) Tính đạo hàm hàm số $y = \tan x + \cot x$

Điều kiện xác định: $x \neq k\frac{\pi}{2} \, (k \in \mathbb{Z})$.

Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản của $\tan x$ và $\cot x$:

Lưu ý: Ta có thể quy đồng để rút gọn thêm:

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Hàm hợp là then chốt: Luôn nhớ nhân thêm $u'$ khi tính đạo hàm của các hàm lượng giác có biến số phức tạp (như $2x, 3x, \sin^2 x$).

• Lượng giác cơ bản: Thuộc lòng bảng đạo hàm các hàm số lượng giác là yêu cầu bắt buộc.

• Biến đổi kết quả: Trong các bài trắc nghiệm, kết quả đạo hàm thường được rút gọn bằng các công thức lượng giác (nhân đôi, cộng, biến đổi tích thành tổng).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên dấu trừ: Rất nhiều bạn quên dấu trừ khi tính đạo hàm của $\cos x$ hoặc $\cot x$.

• Thiếu $u'$: Khi tính $(\sin 2x)'$, học sinh hay viết luôn là $\cos 2x$ mà quên mất hệ số $2$ phía trước.

• Nhầm lẫn lũy thừa: Đạo hàm của $\cos^2 x$ khác hoàn toàn với đạo hàm của $\cos(x^2)$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các hàm có dạng $\sin(ax+b)$ hoặc $\cos(ax+b)$, đạo hàm sẽ luôn đưa hệ số $a$ ra ngoài:

• $(\sin ax)' = a \cos ax$

• $(\cos ax)' = -a \sin ax$

  Áp dụng mẹo này giúp các em tính nhanh các câu như a, b, c mà không cần viết các bước trung gian.