Bài 9.13 trang 96 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Đạo hàm cấp hai

Bài 9.13 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = x²e^x. Tính f''(0).

Phân tích lý thuyết

Để giải bài toán này, các em cần áp dụng hai quy tắc đạo hàm cơ bản:

1. Quy tắc đạo hàm của một tích: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$

2. Đạo hàm của hàm số mũ cơ bản: $(e^x)' = e^x$

3. Định nghĩa đạo hàm cấp hai: $f''(x)$ là đạo hàm của đạo hàm cấp một, tức là $f''(x) = [f'(x)]'$.

Giải bài 9.13 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chúng ta thực hiện tính toán qua các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích cho $u = x^2$ và $v = e^x$:

Để thuận tiện cho bước tiếp theo, ta có thể đặt $e^x$ làm nhân tử chung:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$

Tiếp tục đạo hàm biểu thức $f'(x)$:

Thu gọn biểu thức bằng cách đặt $e^x$ làm nhân tử chung:

Bước 3: Tính giá trị $f''(0)$

Thay $x = 0$ vào biểu thức đạo hàm cấp hai vừa tìm được:

Vì $e^0 = 1$, ta có:

Kết luận: Vậy $f''(0) = 2$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Tính chất hàm số mũ: Hàm số $e^x$ vô cùng đặc biệt vì đạo hàm của nó luôn bằng chính nó. Điều này giúp việc tính đạo hàm các cấp cao hơn của các hàm chứa $e^x$ trở nên có quy luật.

• Cẩn thận khi nhóm nhân tử: Việc nhóm nhân tử chung $e^x$ ở mỗi bước giúp biểu thức gọn gàng hơn và tránh sai sót khi thực hiện đạo hàm cấp hai.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên quy tắc đạo hàm tích: Nhiều bạn chỉ đạo hàm từng thành phần rồi nhân lại (ví dụ viết $f'(x) = 2x \cdot e^x$), điều này hoàn toàn sai bản chất.

2. Nhầm lẫn giá trị $e^0$: Một số bạn sơ suất cho rằng $e^0 = 0$, dẫn đến kết quả cuối cùng bằng $0$. Hãy luôn nhớ bất kỳ số nào (khác 0) lũy thừa 0 đều bằng 1.

3. Sai dấu khi thu gọn: Khi cộng các hạng tử ở bước tính $f''(x)$, cần chú ý các số hạng đồng dạng để cộng chính xác ($2x + 2x = 4x$).

Mẹo giải nhanh

Đối với hàm số dạng $f(x) = P(x) \cdot e^x$ (với $P(x)$ là đa thức), đạo hàm cấp $n$ sẽ có dạng:

Với bài này ($n=2$, $P(x) = x^2$):

$f''(x) = [x^2 + 2(2x) + 2]e^x = (x^2 + 4x + 2)e^x$.

Thay $x=0$ vào ta có ngay kết quả bằng 2.