Bài 9.13 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm cấp hai f''(0)

Bài 9.13 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = x²e^x. Tính f''(0).

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(uv)' = u'v + uv'$.

2. Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$: Tiếp tục lấy đạo hàm của biểu thức $f'(x)$ vừa tìm được.

3. Thay giá trị $x = 0$: Tính toán để đưa ra kết quả cuối cùng.

Giải bài 9.13 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $f(x) = x^2e^x$.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích với $u = x^2$ và $v = e^x$:

Rút gọn bằng cách đặt $e^x$ làm nhân tử chung:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$

Tiếp tục áp dụng quy tắc đạo hàm của tích cho biểu thức $f'(x)$:

Rút gọn biểu thức bằng cách đặt $e^x$ làm nhân tử chung:

Bước 3: Tính giá trị $f''(0)$

Thay $x = 0$ vào biểu thức đạo hàm cấp hai vừa tìm được:

Vì $e^0 = 1$, ta có:

Kết luận: Giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số tại $x = 0$ là $f''(0) = 2$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm hàm mũ: $(e^x)' = e^x$.

• Quy tắc tích: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

• Định nghĩa đạo hàm cấp hai: $f''(x) = (f'(x))'$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên quy tắc tích: Nhiều bạn chỉ tính $(x^2)' \cdot (e^x)' = 2xe^x$, đây là một lỗi sai cơ bản rất phổ biến.

• Sơ suất khi rút gọn: Khi lấy đạo hàm cấp hai từ biểu thức đạo hàm cấp một, nếu không đặt nhân tử chung sẽ dễ dẫn đến việc tính toán rời rạc và sai dấu.

• Giá trị của $e^0$: Một số học sinh nhầm lẫn $e^0 = 0$ thay vì $e^0 = 1$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm tính $f''(x_0)$ với hàm $f(x) = P(x)e^x$ (trong đó $P(x)$ là đa thức):

1. Đạo hàm cấp một là: $f'(x) = [P(x) + P'(x)]e^x$.

2. Đạo hàm cấp hai là: $f''(x) = [P(x) + 2P'(x) + P''(x)]e^x$.

   Áp dụng vào bài: $P(x) = x^2 \Rightarrow P'(x) = 2x, P''(x) = 2$.

   $f''(0) = [0^2 + 2(2 \cdot 0) + 2]e^0 = 2$. Rất nhanh và chính xác!