Bài 9.7 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ

Bài 9.7 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$

Phương pháp giải

Để tính đạo hàm của hàm số có dạng phân thức $y = \frac{u}{v}$, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương:

Ngoài ra, cần nhớ các quy tắc cơ bản:

• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

• $(c \cdot x)' = c$

• $(c)' = 0$

Giải bài 9.7 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 2}$

Điều kiện xác định: $x \neq -2$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương:

Tính đạo hàm các thành phần ở tử số:

• $(2x - 1)' = 2$

• $(x + 2)' = 1$

Thay vào biểu thức:

Kết luận: Với $x \neq -2$, đạo hàm của hàm số là $y' = \frac{5}{(x + 2)^2}$.

b) Tính đạo hàm hàm số $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ (vì $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$).

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương:

Tính đạo hàm các thành phần ở tử số:

• $(2x)' = 2$

• $(x^2 + 1)' = 2x$

Thay vào biểu thức:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số là $y' = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức cốt lõi: Luôn nhớ quy tắc "Đạo hàm tử nhân mẫu trừ tử nhân đạo hàm mẫu, tất cả chia cho mẫu bình phương".

• Dấu của đạo hàm: Ở câu a, đạo hàm luôn dương trên các khoảng xác định, điều này cho biết hàm số luôn đồng biến.

• Rút gọn: Sau khi khai triển tử số, hãy luôn kiểm tra xem có thể đặt nhân tử chung để rút gọn biểu thức hay không.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm dấu: Lỗi phổ biến nhất là nhầm dấu trừ giữa $u'v$ và $uv'$ thành dấu cộng (đây là công thức của đạo hàm tích).

• Quên đạo hàm mẫu ($v'$): Nhiều bạn chỉ viết $u'v - u$ mà quên nhân thêm $v'$.

• Sai sót khi khai triển: Đặc biệt là khi phá ngoặc có dấu trừ phía trước (như trong câu a: $-(2x-1)$ trở thành $-2x+1$).

Mẹo giải nhanh

Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, ta có công thức tính nhanh đạo hàm:

Áp dụng vào câu a: $a=2, b=-1, c=1, d=2$.

Kết quả hoàn toàn trùng khớp và cực kỳ nhanh chóng!