Bài 9.7 trang 94 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$

Phân tích Kiến thức áp dụng

Để giải bài tập này, chúng ta cần sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương:

Cho hai hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x) \neq 0$, ta có công thức:

Ngoài ra, cần nhớ các công thức bổ trợ:

• $(x)' = 1$

• $(c)' = 0$ (với $c$ là hằng số)

• $(x^2)' = 2x$

Giải bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$

Với x ≠ – 2, ta có:

$y'=\left ( \frac{2x-1}{x+2} \right )'$ $=\frac{(2x-1)'(x+2)-(2x-1)(x+2)'}{(x+2)^2}$

$=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}$ $=\frac{5}{(x+2)^2}$

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$

Ta có:

$y'=\left ( \frac{2x}{x^2+1} \right )'$ $=\frac{(2x)'(x^2+1)-2x.(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}$

$=\frac{2(x^2+1)-2x.2x}{(x^2+1)^2}$ $=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$

Qua bài giải bài 9.7 trang 94 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức, bạn cần lưu ý:

• Dấu trong công thức: Luôn là dấu trừ ở tử số ($u'v - uv'$). Rất nhiều học sinh nhầm lẫn sang dấu cộng của đạo hàm tích.

• Đừng rút gọn mẫu số: Thông thường, ta giữ nguyên dạng $(v)^2$ ở mẫu số để thuận tiện cho việc xét dấu đạo hàm sau này.

• Mẹo tính nhanh: Đối với hàm bậc nhất trên bậc nhất dạng $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, bạn có thể sử dụng công thức tính nhanh: $y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}$.

  • Áp dụng cho câu a: $y' = \frac{2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$.