Bài 9.25 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Ôn tập quy tắc tính đạo hàm

Bài 9.25 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)^5$

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$

c) y = e^xsin²x;

d) $y=log(x+\sqrt{x})$

Phương pháp giải

Để giải bài toán tổng hợp này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các quy tắc:

1. Đạo hàm hàm hợp: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ và $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

2. Đạo hàm một thương: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

3. Đạo hàm một tích: $(uv)' = u'v + uv'$.

4. Đạo hàm hàm lượng giác và mũ: $(\sin^2 x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$ và $(e^x)' = e^x$.

Giải bài 9.25 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm hàm số $y = \left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)^5$

Điều kiện xác định: $x \neq -2$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $u^5$:

Tính đạo hàm phân thức bên trong: $\left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)' = \frac{2(x + 2) - 1(2x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2}$.

Thay vào ta được:

b) Tính đạo hàm hàm số $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương:

c) Tính đạo hàm hàm số $y = e^x \sin^2 x$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích:

Sử dụng công thức nhân đôi $2 \sin x \cos x = \sin 2x$:

d) Tính đạo hàm hàm số $y = \log(x + \sqrt{x})$

Điều kiện xác định: $x > 0$. Đây là log cơ số 10.

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm lôgarit hợp $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

Quy đồng tử số: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Kỹ năng rút gọn: Sau khi đạo hàm, việc đưa về biểu thức tối giản (như dùng công thức nhân đôi ở câu c hoặc quy đồng ở câu d) rất quan trọng trong các bài thi trắc nghiệm.

• Hằng số lôgarit: Nhớ rằng $\log x$ là lôgarit cơ số 10, nên công thức đạo hàm phải chứa $\ln 10$.

• Đạo hàm hàm hợp: Đây là phần quan trọng nhất, "phẩy" từ ngoài vào trong để không bỏ sót các nhân tử $u'$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên nhân đạo hàm bên trong ngoặc: Ở câu a, nhiều bạn chỉ tính $5u^4$ mà quên nhân tiếp phần đạo hàm của phân thức.

• Nhầm dấu trong đạo hàm thương: Lỗi sai dấu giữa tử số đạo hàm câu b là điều rất phổ biến.

• Thiếu $\ln 10$ ở câu d: Nhiều bạn nhầm lẫn giữa đạo hàm của $\ln u$ và $\log u$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các hàm có lũy thừa lớn của phân thức bậc nhất như câu a:

1. Tính nhanh đạo hàm bậc nhất bên trong: $k = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.

2. Công thức tổng quát: $[(u)^n]' = n \cdot u^{n-1} \cdot k$.

   Nhẩm nhanh: $k = \frac{2(2)-(-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$.

   Kết quả: $5 \cdot u^4 \cdot \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{25u^4}{(x+2)^2}$.