Bài 9.5 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Thiết kế đường ray tàu lượn bằng Parabol

Bài 9.5 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L₁ và đoạn dốc xuống L₂ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L₁ và L₂ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Phân tích bài toán

• Tiếp tuyến và đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm chính là giá trị đạo hàm của hàm số tại hoành độ điểm đó ($k = y'(x_0)$).

• Gốc tọa độ: Việc đặt gốc tọa độ tại $P$ giúp ta xác định được tọa độ điểm $P(0; 0)$.

• Khoảng cách ngang: Khoảng cách giữa $P$ và $Q$ theo phương ngang chính là hiệu hoành độ của hai điểm này.

Giải bài 9.5 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Phương trình parabol: $y = f(x) = ax^2 + bx + c$.

Đạo hàm của hàm số: $y' = 2ax + b$.

a) Tìm $c$

Vì gốc tọa độ đặt tại $P$ nên tọa độ của điểm $P$ là $(0; 0)$.

Thay tọa độ $P(0; 0)$ vào phương trình parabol, ta có:

Vậy $c = 0$.

b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$

Đạo hàm tại điểm $x = 0$ là:

Theo đề bài, đoạn dốc $L_1$ là tiếp tuyến tại $P(0; 0)$ và có hệ số góc $k_1 = 0,5$.

Mà hệ số góc của tiếp tuyến tại $P$ chính là $y'(0)$, do đó:

Vậy $y'(0) = 0,5$ và $b = 0,5$.

c) Tìm $a$ khi khoảng cách ngang $P$ và $Q$ là 40 m

Khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40$ m, mà $x_P = 0$ nên hoành độ của điểm $Q$ là $x_Q = 40$.

Đoạn dốc $L_2$ là tiếp tuyến tại $Q$ và có hệ số góc $k_2 = -0,75$. Ta có phương trình:

Khi đó, phương trình của parabol là: $y = -\frac{1}{64}x^2 + 0,5x$.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa $P$ và $Q$

Để tìm chênh lệch độ cao, ta cần tìm tung độ của điểm $Q$. Thay $x_Q = 40$ vào phương trình parabol vừa tìm được:

Tọa độ điểm $Q$ là $(40; -5)$. Điểm $P$ có tung độ $y_P = 0$.

Chênh lệch độ cao giữa $P$ và $Q$ là:

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm là 5 mét.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Hệ số góc tiếp tuyến: $k = f'(x_0)$.

• Sự chuyển tiếp êm ái: Trong kỹ thuật, để hai đường nối nhau trơn tru (không gấp khúc), chúng phải có chung tiếp tuyến tại điểm nối.

• Tọa độ hóa: Kỹ năng đặt gốc tọa độ hợp lý giúp đơn giản hóa các phép tính hằng số ($c, b$).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn hệ số góc: Đôi khi học sinh nhầm $L_1$ là giá trị $y$ thay vì $y'$. Nhớ rằng "hệ số góc" luôn liên quan đến đạo hàm.

• Sai dấu của $a$: Vì parabol quay bề lõm xuống dưới (đỉnh ở trên), hệ số $a$ phải mang giá trị âm. Nếu tính ra dương, bạn cần kiểm tra lại phép tính.

• Đơn vị: Chênh lệch độ cao là khoảng cách nên kết quả cuối cùng nên để giá trị tuyệt đối (luôn dương).

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán thiết kế đường cong nối hai đoạn thẳng có hệ số góc $k_1$ và $k_2$ với khoảng cách ngang $L$:

1. Hệ số $b$ chính là $k_1$ (nếu bắt đầu từ gốc tọa độ).

2. Hệ số $a$ có thể tính nhanh bằng công thức: $a = \frac{k_2 - k_1}{2L}$.

   Áp dụng: $a = \frac{-0,75 - 0,5}{2 \cdot 40} = \frac{-1,25}{80} = -\frac{1}{64}$. Rất nhanh phải không nào!