Bài 9.5 trang 86 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Thiết kế đường ray tàu lượn

Bài 9.5 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L₁ và đoạn dốc xuống L₂ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L₁ và L₂ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Phân tích lý thuyết

Để giải bài toán thực tế này, chúng ta cần vận dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm:

1. Hệ số góc của tiếp tuyến: Đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. Nếu đường thẳng $L$ là tiếp tuyến tại $x_0$ và có hệ số góc $k$, thì $f'(x_0) = k$.

2. Vị trí điểm trên đồ thị: Nếu đồ thị đi qua gốc tọa độ $P(0;0)$, ta thay tọa độ này vào phương trình để tìm hằng số.

Giải bài 9.5 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tìm c

Vì gốc tọa độ được đặt tại điểm $P$, nên tọa độ của $P$ là $(0; 0)$.

Điểm $P$ thuộc parabol $y = ax^2 + bx + c$, ta có:

Kết luận: $c = 0$.

b) Tính y'(0) và tìm b

Trước hết, ta tính đạo hàm của hàm số $y = ax^2 + bx$:

Tại điểm $P$ (có hoành độ $x = 0$), đạo hàm là:

Theo đề bài, đoạn dốc $L_1$ là tiếp tuyến tại $P$ và có hệ số góc $0,5$. Do đó:

Kết luận: $y'(0) = 0,5$ và $b = 0,5$.

c) Tìm a

Khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40$ m. Vì $x_P = 0$ nên hoành độ của điểm $Q$ là $x_Q = 40$.

Tại điểm $Q$, đoạn dốc $L_2$ là tiếp tuyến và có hệ số góc $-0,75$. Ta có:

Kết luận: Phương trình parabol lúc này là: $y = -\frac{1}{64}x^2 + 0,5x$.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa P và Q

Chênh lệch độ cao chính là giá trị tuyệt đối của hiệu hai tung độ $|y_P - y_Q|$.

• Tại $P$: $y_P = 0$.

• Tại $Q$ ($x_Q = 40$):

  $$y_Q = -\frac{1}{64}(40)^2 + 0,5(40) = -\frac{1600}{64} + 20 = -25 + 20 = -5$$

  Chênh lệch độ cao là:

  $$|y_P - y_Q| = |0 - (-5)| = 5 \text{ (m)}$$

  Kết luận: Chênh lệch độ cao giữa hai điểm $P$ và $Q$ là $5$ mét.

Tổng kết kiến thức

• Đạo hàm và tiếp tuyến: Đây là ứng dụng quan trọng nhất để kết nối các phần của công trình (đường thẳng và đường cong) sao cho trơn tru.

• Mô hình hóa toán học: Chuyển đổi các ngôn ngữ thực tế như "độ dốc", "khoảng cách ngang" thành "hệ số góc", "hoành độ".

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Xác định sai tọa độ: Quên mất $P$ là gốc tọa độ nên không suy ra được $c=0$.

2. Nhầm lẫn hệ số góc: Thay nhầm hệ số góc của $L_2$ vào vị trí của $b$. Hãy nhớ $b$ chỉ bằng hệ số góc tại điểm có hoành độ bằng $0$.

3. Sai đơn vị hoặc dấu: Trong bài toán thực tế, chênh lệch độ cao phải là một số dương (dùng giá trị tuyệt đối).