Bài 9.10 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm |f'(x)| ≤ 6

Bài 9.10 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $f(x) = 2sin^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ và $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$.

2. Rút gọn biểu thức đạo hàm: Sử dụng công thức nhân đôi $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ để đưa đạo hàm về dạng đơn giản nhất.

3. Đánh giá giá trị: Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác: $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ để chứng minh yêu cầu đề bài.

Giải bài 9.10 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$

Ta có hàm số dạng $f(x) = 2u^2$ với $u = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

Bước 2: Rút gọn bằng công thức nhân đôi

Sử dụng công thức $2\sin A \cos A = \sin 2A$ với $A = 3x - \frac{\pi}{4}$:

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức

Với mọi giá trị của $x$, ta luôn có tính chất của hàm số $\sin$:

Nhân cả 3 vế với 6 (vì $6 > 0$ nên chiều bất đẳng thức không đổi):

Hay:

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, điều này tương đương với:

Vậy ta đã chứng minh được $|f'(x)| \leq 6$ với mọi $x$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm: $(u^2)' = 2uu'$.

• Công thức lượng giác: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

• Đánh giá hàm lượng giác: Giá trị của hàm $\sin$ và $\cos$ luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên nhân $u'$: Lỗi phổ biến nhất là khi tính đạo hàm $\sin(3x - \pi/4)$ chỉ ra $\cos(3x - \pi/4)$ mà quên mất hệ số $3$.

• Không rút gọn về công thức nhân đôi: Nếu để nguyên biểu thức $12\sin A \cos A$, việc đánh giá $|f'(x)|$ sẽ phức tạp hơn rất nhiều.

• Sai sót trong phép nhân: Nhân $2$ vào biểu thức $(3x - \pi/4)$ nhưng quên nhân cho $-\pi/4$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các hàm có dạng $y = a \cdot \sin^2(bx + c)$, đạo hàm sẽ luôn có trị tuyệt đối cực đại là:

Áp dụng vào bài: $a = 2, b = 3 \Rightarrow |y'|_{max} = 2 \cdot 3 = 6$.

Kết quả này giúp các em kiểm soát đáp án trong các bài trắc nghiệm cực nhanh!