Bài 9.20 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Kết nối tri thức: Giải bất phương trình đạo hàm f'(x) ≤ 0

Bài 9.20 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{3}$x³ - x² - 3x + 1  . Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 0 là

A. [1; 3].

B. [–1; 3].

C. [–3; 1].

D. [–3; –1].

Phương pháp giải

Để tìm tập nghiệm của bất phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm đa thức $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

2. Lập bất phương trình: Cho biểu thức $f'(x)$ vừa tìm được nhỏ hơn hoặc bằng 0.

3. Giải bất phương trình bậc hai: Sử dụng phương pháp xét dấu tam thức bậc hai hoặc bấm máy tính để tìm tập nghiệm.

Giải bài 9.20 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: B

Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$

Ta có hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm cơ bản:

Bước 2: Giải bất phương trình $f'(x) \leq 0$

Thay biểu thức đạo hàm vào bất phương trình:

Bước 3: Xét dấu và kết luận

Xét phương trình bậc hai $x^2 - 2x - 3 = 0$:

Ta thấy $a - b + c = 1 - (-2) + (-3) = 0$, nên phương trình có hai nghiệm:

• $x_1 = -1$

• $x_2 = -\frac{c}{a} = 3$

Vì hệ số $a = 1 > 0$, theo quy tắc xét dấu tam thức bậc hai "Trong trái - Ngoài cùng", biểu thức sẽ mang dấu âm (hoặc bằng 0) trong khoảng giữa hai nghiệm:

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $S = [-1; 3]$. Vậy đáp án chính xác là B.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm: Nhớ triệt tiêu hệ số khi gặp lũy thừa (ví dụ $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$).

• Xét dấu tam thức bậc hai: Khi $a > 0$, để $ax^2 + bx + c \leq 0$ thì $x$ phải nằm trong đoạn $[x_1; x_2]$.

• Ý nghĩa hình học: Khoảng nghiệm $[-1; 3]$ chính là khoảng mà hàm số $f(x)$ nghịch biến trên đồ thị.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai đạo hàm: Lỗi phổ biến nhất là không nhân hệ số mũ xuống (ví dụ để nguyên $x^3$ hoặc $x^2$).

• Nhầm dấu khi xét nghiệm: Xác định sai nghiệm của phương trình $x^2 - 2x - 3 = 0$ thành $1$ và $-3$.

• Sai quy tắc xét dấu: Nhầm lẫn giữa "trong trái" và "ngoài cùng", dẫn đến chọn đáp án có dạng $(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài trắc nghiệm, sau khi tính được $f'(x) = x^2 - 2x - 3$, bạn có thể:

1. Sử dụng chức năng Mode 5 - 3 (hoặc Menu 9 - 2 - 2) trên máy tính Casio để tìm nghiệm nhanh.

2. Thử một giá trị đại diện: Ví dụ thử $x = 0$ (nằm trong đoạn của đáp án A và B).

   Thay $x = 0$ vào $f'(x)$: $0^2 - 2(0) - 3 = -3 \leq 0$ (Đúng). Vậy tập nghiệm phải chứa số 0. Loại ngay đáp án D.

3. Thử $x = -1$: $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ (Đúng). Tập nghiệm phải chứa $-1$. Loại đáp án A và C.

   Kết quả cuối cùng là B!