Bài 9.9 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.9 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y=2^{3x-x^2}$

b) y = log₃(4x + 1).

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần vận dụng công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm mũ và hàm lôgarit:

• Đạo hàm hàm số mũ hợp: $(a^u)' = u' \cdot a^u \cdot \ln a$

• Đạo hàm hàm số lôgarit hợp: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \cdot \ln a}$

Giải bài 9.9 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm hàm số $y = 2^{3x - x^2}$

Đây là hàm số mũ có dạng $y = a^u$ với $a = 2$ và $u = 3x - x^2$.

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:

Tính đạo hàm của $u = 3x - x^2$:

Thay vào biểu thức ta được:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số là $y' = (3 - 2x) \cdot 2^{3x - x^2} \cdot \ln 2$.

b) Tính đạo hàm hàm số $y = \log_3(4x + 1)$

Điều kiện xác định: $4x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{4}$.

Đây là hàm số lôgarit có dạng $y = \log_a u$ với $a = 3$ và $u = 4x + 1$.

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:

Tính đạo hàm của $u = 4x + 1$:

Thay vào biểu thức ta được:

Kết luận: Với $x > -\frac{1}{4}$, đạo hàm của hàm số là $y' = \frac{4}{(4x + 1) \cdot \ln 3}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm hàm số mũ: Đừng quên nhân thêm $\ln a$ và đạo hàm của số mũ $u'$.

• Đạo hàm hàm số lôgarit: Luôn nhớ đưa $u$ xuống mẫu số cùng với $\ln a$.

• Điều kiện xác định: Luôn để ý điều kiện của biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương trước khi tính đạo hàm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên $u'$: Lỗi phổ biến nhất là chỉ tính đạo hàm cơ bản mà quên nhân thêm đạo hàm của biểu thức hợp (như $3-2x$ ở câu a hay $4$ ở câu b).

• Nhầm lẫn giữa $\ln a$ và $\frac{1}{\ln a}$: Nhớ rằng hàm mũ thì nhân với $\ln a$, còn hàm lôgarit thì chia cho $\ln a$.

• Sai sót khi tính đạo hàm bậc nhất: Nhầm lẫn $(3x - x^2)'$ thành các kết quả khác do sơ suất.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài trắc nghiệm, nếu gặp hàm số $y = \log_a(ax + b)$, đạo hàm luôn có dạng:

Áp dụng cho câu b: $a=4, b=1$, ta ra ngay kết quả $\frac{4}{(4x + 1) \ln 3}$ chỉ trong vài giây!