Bài 4.16 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ bằng định lý Pitago đảo giúp các em học sinh đạt điểm tối đa.

I. Đề bài tập 4.16 (SGK Toán 10 - Trang 65)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(1; 3)$ và $N(4; 2)$.

• a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM$, $ON$, $MN$.

• b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.

II. Công thức cốt lõi cần nhớ

Để giải tốt các bài toán tọa độ phẳng dạng này, các em học sinh cần ghi nhớ hai công thức "vàng" sau:

1. Tọa độ của vectơ: Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng công thức:

   $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$$

2. Độ dài của đoạn thẳng: Độ dài đoạn thẳng $AB$ chính là độ lớn của vectơ $\overrightarrow{AB}$:

   $$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.16

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM$, $ON$, $MN$

Đầu tiên, chúng ta tiến hành tìm tọa độ của từng vectơ tương ứng, sau đó áp dụng công thức căn bậc hai để tính độ dài đại số:

• Tính độ dài đoạn thẳng $OM$:

  Vì điểm gốc tọa độ là $O(0; 0)$ nên tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ của điểm $M(1; 3)$:

  $$\overrightarrow{OM} = (1; 3)$$
  $$\Rightarrow OM = |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

• Tính độ dài đoạn thẳng $ON$:

  Tương tự, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{ON}$ chính là tọa độ của điểm $N(4; 2)$:

  $$\overrightarrow{ON} = (4; 2)$$
  $$\Rightarrow ON = |\overrightarrow{ON}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

• Tính độ dài đoạn thẳng $MN$:

  Ta lấy tọa độ điểm cuối $N$ trừ đi tọa độ điểm đầu $M$:

  $$\overrightarrow{MN} = (4 - 1; 2 - 3) = (3; -1)$$
  $$\Rightarrow MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

b) Chứng minh tam giác $OMN$ vuông cân

Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân, các em cần chỉ ra được hai yếu tố độc lập: Tam giác đó vừa cân (có hai cạnh bằng nhau) vừa vuông (thỏa mãn định lý Pitago đảo hoặc có tích vô hướng bằng $0$).

• Bước 1: Chứng minh tam giác $OMN$ cân

  Dựa vào kết quả tính toán độ dài ở câu a, ta có:

  $$OM = \sqrt{10} \quad \text{và} \quad MN = \sqrt{10}$$
  $$\Rightarrow OM = MN = \sqrt{10}$$

  Vì tam giác $OMN$ có hai cạnh bên bằng nhau nên tam giác $OMN$ cân tại đỉnh $M$ $\quad (1)$.

• Bước 2: Chứng minh tam giác $OMN$ vuông

  Ta tiến hành tính bình phương độ dài của cả ba cạnh trong tam giác:

  $$OM^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$$
  $$MN^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$$
  $$ON^2 = (\sqrt{20})^2 = 20$$

  Ta dễ dàng nhận thấy hệ thức liên hệ giữa ba đại lượng này là:

  $$10 + 10 = 20 \Leftrightarrow OM^2 + MN^2 = ON^2$$

  Theo định lý Pitago đảo, hệ thức này chứng minh tam giác $OMN$ vuông tại đỉnh $M$ $\quad (2)$.

• Bước 3: Kết luận tổng hợp

  Từ điều kiện $(1)$ và $(2)$, tam giác $OMN$ vừa cân tại $M$ vừa vuông tại $M$.

  $$\Rightarrow \text{Tam giác } OMN \text{ vuông cân tại } M \text{ (Đpcm).}$$

IV. Phương pháp mở rộng: Chứng minh vuông góc bằng tích vô hướng

Ngoài cách áp dụng định lý Pitago đảo ở trên, HayHocHoi.Vn bật mí cho các em thêm một phương pháp chứng minh góc vuông bằng đại số cực nhanh và chuyên nghiệp của lớp 10, đó là sử dụng Tích vô hướng của hai vectơ:

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng bằng $0$:

$$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0$$

Áp dụng vào bài toán:

• Ta cần kiểm tra xem tam giác có vuông tại $M$ hay không, ta xét cặp vectơ chung gốc $M$ là $\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MN}$:

  • Ta có $\overrightarrow{OM} = (1; 3) \Rightarrow \overrightarrow{MO} = (-1; -3)$.

  • Từ câu a ta có $\overrightarrow{MN} = (3; -1)$.

• Tính tích vô hướng của hai vectơ này:

  $$\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{MN} = (-1) \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) = -3 + 3 = 0$$

• Vì tích vô hướng bằng $0$ nên $\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{MN} \Rightarrow \widehat{OMN} = 90^\circ$. Tam giác $OMN$ vuông tại $M$ một cách cực kỳ nhanh chóng mà không cần bình phương cạnh!

V. Kết luận

Bài tập 4.16 là một bài toán tổng hợp rất hay, giúp học sinh kết nối nhuần nhuyễn giữa kỹ năng đại số tọa độ và tư duy hình học phẳng thuần túy. Việc biết thêm phương pháp tích vô hướng sẽ giúp các em có thêm một vũ khí đắc lực để tăng tốc độ làm bài thi trắc nghiệm.